デルタ関数の証明

質問

[δ^(n)(t)]のフーリエ変換が(iω)^nになることを示せ。
という問題で
∫(-∞,∞)δ^(n)*e^(-iωt)dt
=[δ^(n-1)e^(-iωt)](-∞,∞)+iω∫(-∞,∞)δ^(n-1)*e^(-iωt)dt
=iω∫(-∞,∞)δ^(n-1)*e^(-iωt)dt=・・・・・
=(iω)^(n)と計算できると思うのですが
[δ^(n-1)e^(-iωt)](-∞,∞)の部分が0になるなんてどうしたら言えるのでしょうか？
それとも証明の仕方が間違っているんでしょうか？
そもそもデルタ関数の微分とはどういうものなのでしょうか？
問題にははじめに
δ(t)=lim(N→∞)g_N(t) δ'(t)=lim(N→∞)g'_N(t)
g_N(t)=(N/π)^(1/2)e^(-NT^2) N=1,2,・・・・・
と与えられていますがどうもよくわかりません。
わかる方お願いします。

回答No.4

mmky · ベストアンサー

デルタ関数というのは、一般の考えの関数ではなく、
特別に定義した関数なのです。だから取り扱いも変わっているのです。
微分について詳しく以下URLにありますので参考にしてください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=15021

説明例　[e＾x]は何度微分しても変わりませんね。これも一般化された
意味での超関数（デルタ関数みたいなもの）です。デルタ関数はそのよ
うな関数であると定義されているのです。

δ^(n)=δ(t)(左辺のnはn回微分の意味)
ということでいいのですか？
回答：そうです。
それから、＃１のnubouさんも同じように理解していますから、
心配ないようにね。

それと私のやり方ではダメなんでしょうか？
回答：[δ^(n-1)e^(-iωt)]＝0 としてOKです。
δ関数は積分表示が基本なので、積分表示を残すほうが
わかりやすいのでその例を示しました。

追加：
nubouさんのおっしゃっているシュワルツの
ディストリビュージョンというのは、Diracのデルタ関数を
一般化したものです。ローレンツ　シュワルツ「物理数学の方法」
という本があります。シュワルツさんこの本で数学のフィールド賞
（数学のノーベル賞）もらっていますので、ちょっと難解かも。
図書館へいけばあると思いますので参考にしてください。

追伸まで

お礼

わかりました。
二度も助けていただきありがとうございました。

回答No.3

mmky

mmkyです。
star_blueさんデルタ関数で苦しんでいますね。
＃No.2のnubouさんの回答には解説がいるかな？
＜ｆ’，ψ＞＝－＜ｆ，ψ’＞
∫(-∞,∞)δ’*e^(-iωt)dt= -∫(-∞,∞)δ*｛e^(-iωt)｝’*dt
微分位置が入れ替わるという意味ですね。

やり方まで
P≡∫(-∞,∞)δ*e^(-iωt)dt ＝1
｛t→0　 e^(-iωt)→1　だから｝　と置きましょう。
それから逆変換[e^(iωt)]してみます。
∫(-∞,∞)P*e^(iωt)dt =∫(-∞,∞)δ*(1)dt
両辺をｎ回微分します。
P＝1で、δ関数は何度微分しても同じだから
(iω)＾n∫(-∞,∞)(1)*e^(iωt)dt =∫(-∞,∞)δ＾ｎ*(1)dt
これを再度変換[-e^(iωt)]すると、
(iω)＾n＝∫(-∞,∞)δ＾ｎ*e^(-iωt)dt
となりますね。なんだかうそのような話ですが、
そういうものだと思ってくださいね。

それから質問の[δ^(n-1)e^(-iωt)](-∞,∞)　は？ですが、
ｔ→0、δ^(n-1)*[e^(0)-e^(0)]→0　
それ以外では、δ^(n-1)＝0　だから、[δ^(n-1)e^(-iωt)]＝0
と考えていいのではと思います
参考まで

補足

デルタ関数は微分しても同じってことは
δ'(t)=δ(t)
ってことですか？
つまり任意のnで
δ^(n)=δ(t)(左辺のnはn回微分の意味)
ということでいいのですか？
それはなぜ言えるのですか？
それと私のやり方ではダメなんでしょうか？

回答No.2

nubou

失礼しました
＜ｆ’，ψ＞＝－＜ｆ，ψ’＞
’のつけもらし

回答No.1

nubou

シュワルツのディストリビューションならば部分積分から明らかですね
佐藤のハイパーファンクションのほうが評判がいいので勉強してみたらいいかも
私は勉強嫌いのなでシュワルツどまりですが・・・
後半はガウシアンの面積を１にして山を高くしているだけですね
数列の極限として超関数を定義しているのですよ
方形波でやっているものもありますが不連続点があるのでうまくないですね
ディストリビューションの場合超関数ｆの微分はψを急減少関数として
＜ｆ’，ψ＞＝－＜ｆ，ψ＞
ですからね
しかし無理やりつじつまを合わせたような理論ですから
直感の数列極限のほうが本質を物語っているように思います
δ関数の微分は重要ですよ両側ラプラス変換でも良く出てきます

お礼

時間があればmmkyさんのおっしゃっていた本を読んで勉強してみます。
ありがとうございました。

補足

シュワルツのディストリビュージョン・・・ってのはなんですか？
ハイパーファンクションというのも初耳です。
ガウシアンの面積？
知らないことだらけで頭がパニックになりそうです。
δ'(t)f(t)=-δ(t)f'(t)は部分積分で証明できたんですが
それをn回微分に当てはめるのがどうも・・・・って話なんですが。
δ^(n)っていうのはδのn回微分という意味なんです。
ｎ乗と誤解されてる可能性大ですね。
もう少し噛み砕いてお願いします。