Roucheの定理の使い方がわかりません

質問

こんにちは。

n×n複素行列A,Bに於いて,A+xBの固有値zがx=0に関して連続である事をRoucheの定理

「関数f(z),g(z)は単連結領域Dで正則かつDに含まれる或る単純閉曲線C上で|f(z)|>|g(z)|とする。
この時,Cの内部に於けるf(z)+g(z),f(z)の零点の個数を夫々N_0(f+g),N_0(f)と置けば,N_0(f+g)=N_0(f)」

を利用して示したく思ってます。

h(z,x):=det(z-(A+xB))と置いた時,
単純閉曲線C内でのh(z,x)の零点の個数∮_{c}(d/dz h(z,x)}/h(z,x) dzが h(z,0)での個数∮_{c}(d/dz h(z,0))/h(z,0) dzに等しい

という風に持って行きたいのですが,この場合,何がf(z),g(z)になるのでしょうか?

回答No.1

ramayana

１　f(x) = det(z-A)、g(x) = det(z-(A+xB)) – det(z-A) として、f(z) の１つの零点を中心とする円を C に設定することが考えられます。ただし、|f(z)|>|g(z)| が満たされるように、Cの半径は、x との相対関係で十分大きくとる必要があります。

２　ただ、A の固有値に重複がなければ、複素解析学を使うまでもなく、素直に逆関数の定理で証明できます。

３　A の固有値に重複がある場合は、A+xBの固有値がx=0 の近傍で x の（一価）関数にならないので、問題の定式化に若干工夫がいります。

４　以上のことは、一般に「モニック多項式の根は、その係数の連続関数か？」という問題意識で考えれば、見通しがよくなると思います。