- ベストアンサー
分母に√の入った積分の計算について教えてください
Tacosanの回答
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
どう「うまくいかなかった」の?
関連するQ&A
- 積分⇒微分でよろしくお願いします．
こんにちは． 積分を微分する問題ですが，よろしくお願いします． ∞ ＜与式＞ Ｕ（a,b）=∫u{W(1+a+bz)}ψ(z)dz -∞ ※ 変数については以下のとおりです． (1) Ｗは定数です． もともと，W(1+a+bz)の部分は，ｗ(１＋ｒ)で表されており，ｒ は利子率のような成長率です．これを，ｚ＝(r-a)/bとして，変数変換してあり，ｒ＝a+bzを，代入して，与式となっています． (2) u（・）はWの関数です． (3) ψ(・) はzの関数です． 意味的には，u(・)に対して確率密度関数を与えていて，簡単に言えば -∞～∞まで積分を取ることによって，uを加重平均していると言えますが，ただの関数に過ぎません． ■ この変数Zで積分されているＵ式を，パラメータである aとbでそれぞれ微分したいのです． ちなみにｂの場合の答えは， ∞ dU/db＝Ｗ・∫(ｚ)・（u'）・ψ(z)dz -∞ となるようですが．．．．？？お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分
広義積分の問題なのですが，変数変換をすると，積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが，これを x=rcosθ，y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1，0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが， そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜=｜cosθ -rsinθ｜｜dr ｜ ｜dy｜ ｜sinθ rcosθ｜｜dθ｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =｜cosθ -rsinθ｜= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r ｜sinθ rcosθ｜ のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0～2π]∫[0～R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ（笑）、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか？ たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ ｜dx｜ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ｜｜du｜ ｜dy｜=｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜｜dv｜ ｜dz｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜｜dw｜ └ ┘ └ ┘└ ┘ ｜∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w｜ |J| =｜∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w｜ ｜∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w｜ であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数