分母に√の入った積分の計算について教えてください

質問

∫[0→a]{r/(r^2+a^2)^(3/2)}drという問題です。

r^2+a^2=uとおいて計算してみたのですが、うまくいきませんでした。

変数変換した場合、０→aは、a^2→a^2+h^2となりますよね？

答えを見ると、-1/(a^2+h^2)^(1/2)+1/hとなっています。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足での訂正後の計算

>∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}drのミスでした。
>それで、r^2+h^2=uとおいたのでした。

そうであれば
a>0,h>0として
A#2の回答のaをhで置き換えれば良いでしょう。

d{((r^2+h^2)^(-1/2)}/dr=-r{(r^2+h^2)^(-3/2)} なので

I=∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}dr
=[-(r^2+h^2)^(-1/2)][0→a]
=[-(a^2+h^2)^(-1/2)+(h^2)^(-1/2)]
=-(1/√(a^2+h^2)) +(1/h)

回答No.5

ferien

ANo.3ANo.4です。度々失礼します。補足について

変数のところは、ｈ^2→（ａ^2＋ｈ^2）に直してもらえればいいです。
ｈ^2≦ｕ≦（ａ^2＋ｈ^2）と言う意味です。

＞自分の詳しい計算はこうです。
r^2+h^2=uとおく。
2rdr=duとなり、これを積分のdrに代入すると
∫[a^2→2a^2](r/u^(3/2))*(1/2r)du
=(1/2)∫[a^2→2a^2]u^(-3/2)du
＞=[-1/(sqrt(r^2+h^2)][a^2→2a^2]
のところ
=[-1/(sqrt(ｕ)][a^2→2a^2]にして、ｕに代入します。
そうすれば、
＞={-1/sqrt(4a^2+h^2)} + {1/sqrt(a^4+h^2)}
のところも混乱しないで済むと思います。

確認してみて下さい。

回答No.4

ferien

ANo.3です。補足について

＞∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}drのミスでした。
ｕ＝ｒ^2＋ｈ^2とおくと、ｄｕ＝２ｒｄｒより、(1/2)ｄｕ＝ｒｄｒ
０→ａは、ｈ^2→ａ^2＋ｈ^2

∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}dr
＝∫｛ｈ^2→ａ^2＋ｈ^2｝(1/2)（１／ｕ^(3/2)｝ｄｕ
＝(1/2)［－２ｕ^(-1/2)］｛ｈ^2→ａ^2＋ｈ^2｝
＝－｛（ａ^2＋ｈ^2）^(-1/2)－（ｈ^2）^(-1/2)｝
＝－（ａ^2＋ｈ^2）^(-1/2)＋ｈ^(-1)
＝－１／（ａ^2＋ｈ^2）^(1/2)＋１／ｈ
のようになりました。

確認してみて下さい。

回答No.3

ferien

∫[0→a]{r/(r^2+a^2)^(3/2)}drという問題です。

＞r^2+a^2=uとおいて計算してみたのですが、うまくいきませんでした
これでできます。ｄｕ＝２ｒｄｒより、(1/2)ｄｕ＝ｒｄｒ
０→ａは、ａ^2→２ａ^2
∫[0→a]{r/(r^2+a^2)^(3/2)}dr
＝∫（ａ^2→２ａ^2）(1/2)｛１／ｕ^(3/2)｝ｄｕ
＝(1/2)×［－２ｕ^(-1/2)］（ａ^2→２ａ^2）
＝－｛（２ａ^2）^(-1/2)－（ａ^2）^(-1/2)｝
＝ａ^(-1)｛１－２^(-1/2)｝
＝（２－√２）／２ａ

＞答えを見ると、-1/(a^2+h^2)^(1/2)+1/hとなっています
ｈにａを代入すると、上と同じになります。

お礼

すいません。
aとhがごっちゃになってしまい、頭がパニックになってしまいました。
勘違いしまくってしまいました。

改めて訂正します。
自分の回答は、
-1/(sqrt(a^2+2h^2))+(1/hsqrt(2))となりました。

補足

∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}drのミスでした。
すいませんでした。

自分の詳しい計算はこうです。
r^2+h^2=uとおく。
2rdr=duとなり、これを積分のdrに代入すると
∫[a^2→2a^2](r/u^(3/2))*(1/2r)du
=(1/2)∫[a^2→2a^2]u^(-3/2)du
=[-1/(sqrt(r^2+h^2)][a^2→2a^2]
={-1/sqrt(4a^2+h^2)} + {1/sqrt(a^4+h^2)}
となって答えと合いませんした。
まったくどこが間違っているのかわかりませんでした。

０→ａは、ａ^2→２ａ^2のところなのですが、
0→a^2ではないのでしょうか？
なぜなら、

もしr^2+a^2=uとおいたのだとしたら、
この式に
r=0を代入すると、u=a^2
r=aを代入すると、u=2a^2
となると思ったからです。

勘違いだったらすいません。

答えの式を見ると、変数変換していない感じになっているので悩んでいます。

回答No.2

info22_

>変数変換した場合、０→aは、a^2→a^2+h^2となりますよね？
hは積分の式の中にない文字ですね。どこから持ってきた変数ですか？
問題や答えをチェックして見てください。
積分の問題にないhが答えや変数変換に何故出てくるのでしょう。
間違いでは？

a>0とします。
積分の式が正しいとすると
d{((r^2+a^2)^(-1/2)}/dr=2r{(r^2+a^2)^(-3/2)} なので

I=∫[0→a]{r/(r^2+a^2)^(3/2)}dr
=(1/2)[(r^2+a^2)^(-1/2)][0→a]
=(1/2)[(2a^2)^(-1/2)-(a^2)^(-1/2)]
={(√2/4)-1}/a
=(√2-4)/(4a)
となります。

補足

申し訳ありませんでした。
∫[0→a]{r/(r^2+h^2)^(3/2)}drのミスでした。
それで、r^2+h^2=uとおいたのでした。

回答No.1

Tacosan

どう「うまくいかなかった」の?