積分計算

質問

この積分計算をできるだけ分かりやすく丁寧に教えて下さい、よろしくお願いします。

f(r)=1/(√(2π)σ)*exp(-r^2/(2σ^2))
としたときのＩを求めなさい。

I=∫[0→x] ∫[0→2π] r*f(r)dθdr+∫[x→R] ∫[cos^-1(x/r)→2π-cos^-1(x/r)] r*f(r)dθdr

回答No.4

drmuraberg

この質問を見た時に物理の何かの式と思い計算してみました。
結果は残念ながらすっきりした形では表せないでした。
大掃除がてら、到達段階の式を記入しておきます。
ひょっとすると数値計算に有用かも知れません。

I = I1 + I2
I1 = ∫∫ r*f(r)dθdr = 2√(2π)σ｛1-exp(-X^2/(2σ^2))｝

I2 = ∫∫[cos^-1(x/r)→2π-cos^-1(x/r)] r*f(r)dθdr
= I21 + I22

I21 = 2π∫[x→R] r*f(r)dr = 2√(2π)σ｛exp(-X^2/(2σ^2))-exp(-R^2/(2σ^2))｝
よって
I1 + I21 = 2√(2π)σ｛1- exp(-R^2/(2σ^2))｝

I22 =2∫[x→R]Θ(r)*r*f(r)dr　　　　　　　　　　　Θ(r)=arccos(X/r)

I22/2の計算、1/(2σ^2) = a 、dg(r)/dr = r*exp(-ar^2)と置くと、g(r)=-exp(-ar^2)/(2a)
部分積分の公式
d(Θ(r)*g(r))/dr = dΘ(r)/dr*g(r) + Θ(r)*dg(r)/dr
より
∫Θ(r)*dg(r)/dr =Θ(r)*g(r) - ∫dΘ(r)/dr*g(r)dr
ここで
d(arccos(X/r))/dr = (X/r)/√(r^2 – X^2)
を使うと
I22/2 = -arccos(X/r)*exp(-ar^2)/(2a) [x→R]
+ ∫(X/r)/√(r^2 – X^2)*exp(-ar^2)dr /(2a)
= arccos(X/R)*exp(-aR^2)/(2a)
+ (X/2a)∫(1/r)/√(r^2 – X^2)*exp(-ar^2)dr
= arccos(X/R)*exp(-aR^2)/(2a)
+ (X/4a)*exp(-aX^2)∫exp(-aβ) /｛(β+X^2)√β｝dβ
積分範囲は、0～R^2 – X^2

検算はしていません。何かヒントになれば幸いです。
ところでどんな物理の問題でした。光かと思いますが。
よろしかったら教えてください。対称性や近似などの可能性も併せて。

補足

回答ありがとうございます。
ご察しの通り光の問題ですが、詳細は申し訳ありませんが記載することができません。
ガウス分布形状の体積を求める問題でして、xの変化に対するＩを求めることを目的としています。

回答No.3

noname#152422

ごめんなさい、第2項を単純に見落としてました。

ちなみにxやRについてその後極限操作するのであれば、場合によってそれを直接計算する手段を探す方が楽かもしれません。

補足

回答ありがとうございます。

xやRにつきましては極限操作ではなく変数としてそのまま計算したいのですが、可能でしょうか？

回答No.2

noname#152422

＃１の日本語がおかしいので訂正します。

> また、rとexp(定数*r^2)の形の原始関数は定数*exp(定数*r^2)です。からrについての積分も直ちに計算できます。

↓　↓　↓

また、rとexp(定数*r^2)との積の形の原始関数は定数*exp(定数*r^2)ですから、rについての積分も直ちに計算できます。

補足

回答ありがとうございます。

第一項は
σ√(2π)(-exp(-x/(2σ^2)+1)
と計算できたのですが(正しいのか分からないのですが、

第二項は
cos^-1(x/r)の積分でつまっています。

正しい回答を教えていただけると助かります。

回答No.1

noname#152422

特に難しい部分はないと思いますが、どこで詰まっているんでしょう？

積分の中身にθが含まれていないので両方とも実質的にrの積分だけ計算すればいいです。

また、rとexp(定数*r^2)の形の原始関数は定数*exp(定数*r^2)です。からrについての積分も直ちに計算できます。