積分計算

質問

∫(0～∞)r×exp(-2r/a)dτの計算過程と答えを教えていただけないでしょうか？τは体積要素を表しているとあるのですが良く分かりません。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.5

noname#57316 · ベストアンサー

失礼！
最後から二行目以降、
-{(a/2)^2・exp(-2r/a)}|(0～∞)
=(a/2)^2
でした。

お礼

ere_Elbaさま

ご教示ありがとうございました。
わかりました。

回答No.4

noname#57316

＃3です。

τが r なら
∫(0～∞)r×exp(-2r/a)dr
={r・(-a/2)・exp(-2r/a)}|(0～∞)-(-a/2)・∫(0～∞)exp(-2r/a)dr
={(a/2)^2・exp(-2r/a)}|(0～∞)
=(a/2)^2
となります。

回答No.3

noname#57316

極座標を用います。
そうすると、dτ=dr・rdθ・(dψ・r・sinθ)
θは天頂角、ψは方位角です。

今の場合、積分に天頂角、方位角の変数は含まれていない
ようなので、被積分函数は、θ、ψに関し対称と考えられます。
（'a' を定数と見なしています）

従って、
∫(0～∞)r×exp(-2r/a)dτ
=∫(0～2π)dψ∫(-π/2～π/2)sinθdθ∫(0～∞)r×exp(-2r/a)(r^2・dr)
=2π・{2・cosθ|(-π/2～0)}・∫(0～∞)r^3・exp(-2r/a)dr
=4π・∫(0～∞)r^3・exp(-2r/a)dr
となりますが、これでは、積分は無限大になります。

補足

早速のご解答ありがとうございました。
水素原子1S軌道に関するの平均ポテンシャルエネルギーを求める際の計算なのですが、
∫Ψ＾*U(r)Ψdτ=∫(0～2π)dφ∫(0～π)sinθdθ∫(0～π)r＾2drΨ＾*U(r)Ψ
を計算していくと
Ψ=1/π＾(1/2)(1/a)＾(3/2)exp(-r/a)
U(r)=-e＾2/(4πεr)
であるときに上式は
=-e＾2/(πεa＾3)∫(0～π)r×exp(-2r/a)dτ
=-e＾2/(4πεa)
とありまして、どうしてこの結果になるのか導出できなかったのです。
∫(0～π)r×exp(-2r/a)dτのdτがdrだったとするならば計算結果はa＾2/4となるのでしょうか？
どこか途中で式が間違っているのでしょうか？
お時間がおありになるときにでもアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.2

inara1

τ が体積要素なら
　　　τ = r^3*cos(θ)*dr*dθ*dφ
ということでしょうか。

でしたら問題の積分は
　　　∫[φ = 0～2*π ] dφ∫[ θ = -π/2～π/2 ] dθ ∫[ r = 0～∞ ] r^4*exp( -2*r/a )*cos(θ) dr
　　　= 4*π*∫[ r = 0～∞ ] r^4*exp( -2*r/a ) dr
で、以下の積分は部分積分法を使えば
　　　∫r^4*exp( -2*r/a ) dr = -π*a*exp( -2*r/a )*( 2*r^4 + 4*r^3*a + 6*r^2*a^2 + 6*a^3*r + 3*a^4)
なので、a > 0 ならば
　　　問題の積分 = 3*π*a^5
ではないでしょうか。

補足

早速のご解答ありがとうございました。
水素原子1S軌道に関するの平均ポテンシャルエネルギーを求める際の計算なのですが、
∫Ψ＾*U(r)Ψdτ=∫(0～2π)dφ∫(0～π)sinθdθ∫(0～π)r＾2drΨ＾*U(r)Ψ
を計算していくと
Ψ=1/π＾(1/2)(1/a)＾(3/2)e＾(-r/a)
U(r)=-e＾2/(4πεr)
であるときに上式は
=-e＾2/(πεa＾3)∫(0～π)r×e＾(-2r/a)dτ
=-e＾2/(4πεa)
とありまして、どうしてこの結果になるのか導出できなかったのです。
∫(0～π)r×e＾(-2r/a)dτのdτがdrだったとするならば計算結果はa＾2/4となるのでしょうか？
どこか途中で式が間違っているのでしょうか？
お時間がおありになるときにでもアドバイスよろしくお願いいたします。

回答No.1

coronalith

この問題の内容は、これだけですか？
rについての定義や、aについての定義、等がないと、τについての関連性が全く見えないので、手のつけようがありません。

補足

早速のご解答ありがとうございました。
質問が至らなくて申し訳ありません。
水素原子1S軌道に関するの平均ポテンシャルエネルギーを求める際の計算なのですが、
∫Ψ＾*U(r)Ψdτ=∫(0～2π)dφ∫(0～π)sinθdθ∫(0～π)r＾2drΨ＾*U(r)Ψ
を計算していくと
Ψ=1/π＾(1/2)(1/a)＾(3/2)e＾(-r/a)
U(r)=-e＾2/(4πεr)
であるときに上式は
=-e＾2/(πεa＾3)∫(0～π)r×e＾(-2r/a)dτ
=-e＾2/(4πεa)
とありまして、どうしてこの結果になるのか導出できなかったのです。
∫(0～π)r×e＾(-2r/a)dτのdτがdrだったとするならば計算結果はa＾2/4となるのでしょうか？
どこか途中で式が間違っているのでしょうか？
お時間がおありになるときにでもアドバイスよろしくお願いいたします。