積分の計算(難しい)について

質問

∫x^r (1-e^(-x))^(a-1) e^(-x) dx　 (積分範囲は0から∞まで、ｒは正の整数、a>-r 、aは実数) を計算すると　r!(1-(a-1)/1!2^(r+1)+(a-1)(a-2)/2!3^(r+1)-・・・)　と計算出来るらしいのですが、なぜそうできるのかが、全くわかりません。
(いろいろと部分積分やe^(-x)の巾級数展開などやってみましたが、上手くいきません。)

もしもわかられる方がおられれば、お教えいただけないでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

I=∫[0→∞]x^r (1-e^(-x))^(a-1) e^(-x) dx
e^(-x)=tとおけば
-e^(-x)dx=dt
x:0→∞　⇒　t:1→0
x=-ln(t)
なので

I=∫[1→0] (-ln(t))^r (1-t)^(a-1) (-1)dt
=∫[0→1] (-ln(t))^r*(1-t)^(a-1) dt

(1-t)^(a-1)をマクローリン展開すると
(1-t)^(a-1)
=1-(a-1)t/1!+(a-1)(a-2)t^2/2!-(a-1)(a-2)(a-3)t^3/3!+… (0≦t<1)

I=∫[0→1] (-ln(t))^r*{1-(a-1)t/1!+(a-1)(a-2)t^2/2!-(a-1)(a-2)(a-3)t^3/3!+…}dt
=∫[0→1] (-ln(t))^r dt-((a-1)/1!)∫[0→1] (-ln(t))^r*tdt
+((a-1)(a-2)/2!)∫[0→1] (-ln(t))^r*t^2dt
-((a-1)(a-2)(a-3)/3!)∫[0→1] (-ln(t))^r*t^3dt
+…
各積分を部分積分すれば
=r!-((a-1)/1!)r!/2^(r+1)+((a-1)(a-2)/2!)r!/3^(r-1)
-((a-1)(a-2)(a-3)/3!)r!/4^(r+1)+…
=r!*{1-(a-1)/(1!2^(r+1))+(a-1)(a-2)/(2!3^(r-1))
-(a-1)(a-2)(a-3)/(3!4^(r+1))+…}
と結果の式になります。

お礼

本当にとてもよくわかりました。
大変丁寧に教えていただき、感謝しています。
有り難うございました。