積分計算

質問

ある入試問題の解答を読んでいて
積分計算の変形の仕方が分からない部分があります
積分路は全て 0→a
　　 ∫x^2 (a-x)^(-1/2) dx
　 4∫x (a-x)^(1/2) dx
8/3∫　(a-x)^(3/2) dx
これらの式が全て等しいらしいのですが何故こうなるのか分かりません
どなたか教えてください

回答No.1

aniline · ベストアンサー

(a-x)^(-1/2)　は　-2*(a-x)^(1/2)　を微分したものです。
つまり、
∫x^2 *(a-x)^(-1/2) dx
= ∫x^2 *( -2*(a-x)^(1/2) )' dx
= [x^2 *(-2)*(a-x)^(1/2)] - ∫(x^2)' *(-2)*(a-x)^(1/2) dx
= ∫2*x*2*(a-x)^(1/2) dx
= 4∫x (a-x)^(1/2) dx

3つ目と等しいことも同様にして示せます。
何やってんだ？と思われたら「部分積分」を勉強することをお勧めします。

お礼

頭が硬くなかなか思いつきませんでした
回答ありがとうございました