数学の問題で・・・

質問

Σを用いた問題なのですが、このような記号に慣れていなく、よくわかりません。
　どなたか解き方と答えを教えてください。　問題は以下の通りです。

　A=exp(i2π/N) [A^N=exp(2πi)=cos2π+isin2π=1] ^は階乗を表す

(1) Σ[n=0～N-1](A^k)^n (k=0,1,・・・N-1)

(2) Σ[n=0～N-1]n(A^k)^n (k=0,1,・・・N-1)

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

「階乗」というのは「累乗」のことですね。

次の式を前提にします。(3)は初項1公比xの等比級数です。(4)は、(3)の両辺を微分して適当に整理すれば得られます。

　　(3) Σ[n=0→N-1]x^n=(1-x^N)/(1-x)
　　(4) Σ[n=0→N-1]nx^n=(x-Nx^N+(N-1)x^(N+1))/(1-x)^2

(1)は、(3)においてx=A^kと置けば計算できます。ここで、x^N=(A^kN)=1から、分子=0ですから、

　　(1)式＝(3)式＝0

です。

(2)も同じで、、(4)においてx=A^kと置けば計算できます。x^N=1を使って整理すれば、

　　(2)式＝(4)式＝-N/(1-x)= -N/(1-A^k)

です。

補足

はい。階乗ではなく累乗でした。