数学の問題を作ってみたのですが

質問

時間のある方ぜひ解いてみてください。

Ａ(0)=0,Ａ(1)=1,Ａ(n+2)=pＡ(n+1)-Ａ(n)（n=0,1,2…）を満足する数列｛Ａ(n)｝にがある。ただし、pは2以上の整数とする。
問題；

(1)(Ａ（n+1）)^2-Ａ（n）Ａ（n+2）=1を示せ。
(2)A(n+1)/A(n)が既約分数であることを示せ。
(3)p=2のときΣ[k=1～n]1/A(k)A(k+1)を求めよ。

感想などもお寄せいただければ幸いです。

回答No.5

Tacosan

(1) と (2) は場合分けする必要ないよ＞#4.

(3) も 1点気づけば簡単だよね.

回答No.4

spring135

>Ａ(n+2)=pＡ(n+1)-Ａ(n)

α+β＝p, αβ＝1とすると

Ａ(n+2)-(α+β)Ａ(n+1)+αβＡ(n)=0

Ａ(n+2)-αＡ(n+1)=β(Ａ(n+1)-αＡ(n))=β^(n+1)(A(1)-αＡ(0))=β^(n+1)　　(1)

同様に

Ａ(n+2)-βＡ(n+1)=α^(n+1)　　(2)

(1)*β-(2)*αより

A(n+2)=[β^(n+2)-α^(n+2)]/(β-α)

A(n)=(β^n-α^n)/(β-α)

これ以上は子供じみていてやりたくないけど

(1)(Ａ（n+1）)^2-Ａ（n）Ａ（n+2）=1を示せ。

(Ａ（n+1）)^2-Ａ（n）Ａ（n+2）＝α^nβ^n=(αβ)^n=1

(2)A(n+1)/A(n)が既約分数であることを示せ。

A(n+1)/A(n)=(β^(n+1)-α^(n+1))/(β^n-α^n)=[(β^(2n+1)-1]/β/[(β^(2n)-1]

QED

(3)p=2のときΣ[k=1～n]1/A(k)A(k+1)を求めよ。

p=2のとき

α＝β＝1は特性方程式が重解を持つのでもう一つ特殊な解が出てくる。

質問ですが(1)(2)はp=2とp>2で分けてやれという意味合いですか。

「感想」

線形の漸化式は扱い方が決まっていて発展性がなく、(1)~(3)のような姑息な設問しか作れない。

質問者が受験生ならば時間のロスにつながる。塾の講師や問題集出版会社の手助けをしても始まらない。

回答No.3

stomachman

ただ知識を問うだけですら、丁度良いカゲンの難度のフェアな問題を作るのは結構難しい。まして数学の実力テストの問題を作るのは、にが重いだろなあ。「pは2以上の整数」ってのは(2)だけに掛かる条件では？　(3)はどこまで分母なのか曖昧っす。

補足

(2)はn≧1を忘れてました。すみません。(3)はＡ(k)Ａ(k+1)が分母です。

回答No.2

Tacosan

方針もわかりやすいし, 割と素直な問題ですな. (2) は n=0 でアウトだけど.

あと, 文章は校正した方がいい.

補足

(2)はn≧1を忘れてました。すみません。わかにくいですか？ネットに数式は表しづらいので…
どのあたりを直せばいいですか？

回答No.1

AR159

まるで宿題の丸投げのように見えるのですが（笑）

本当に感想が聞きたいのなら、質問者さん自身が答えと解説をつけて、問題の意図を説明すべきでは？

補足

実際に解いてみての感想を知りたかったので…
答えを書くと解答を発想せずとも「分かった気分］になってしまうじゃないですか。問題集などで答えみたら「なんだ簡単じゃん」ておもうみたいに…
なんの根拠があって宿題にみえるかわかりませんが、質問の回答もせずに実際に問題も作ったのに失礼だと思うのですが。　　
せめて解答を作成してから意見してください。　
あとわからないのならそもそも回答しないでください。お願いします。