数学の問題

質問

α=(3+√5)/2とし、数列｛a(n)｝を、a(n)=α^n+1/α^n (n=1,2,3,…)と定める。

(1)a(1),a(2)を求めよ。
(2)a(n+2)=3a(n+1)-a(n) (n=1,2,3,…)が成り立つことを示せ。
(3)α^n (n=1,2,3,…)に最も近い整数を4で割った余りを求めよ。

この問題の(1)と(2)はわかるのですが、(3)の求め方がよくわかりません。
もしわかる方がいらっしゃいましたらどのように求めればよいのか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

(3)α^n (n=1,2,3,…)に最も近い整数を4で割った余りを求めよ。

α=(3+√5)/2≒2.618　なので、1/α^n≦1/α＜0.382
a(n)は整数なので、α^n=a(n)-1/α^n　に最も近い整数はa(n)となる。

a(n)を4で割った余りをb(n)とすると、
a(n+2)=3a(n+1)-a(n)
より、b(n+2)は、3b(n+1)-b(n)を4で割った余りと一致する。

b(1)=3、b(2)=3、b(3)=2、b(4)=3、b(5)=3
n=6以上はこれを繰り返すので、答えは、
nが3の倍数のとき2、それ以外のとき3