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Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が
stomachmanの回答
計算を一通り追いかけられたのであれば、あとは大したことありません。u≠0のとき、ue^{ux}/(e^u-1)のxに関するテイラー展開が存在するのは明らかで、（Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!）のxに関するテイラー展開の各項がこれと一致する（ということは収束もする）というだけの話です。細かい計算まで吟味するなら、∞と言わずにlim{j→∞} Σ_{n=0}^j をお考えになれば？
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