Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が

質問

識者の皆様よろしくお願い致します。

B_nはz/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n! (但し,|z|<2π)を満たす数でBernoulli数といいます。
そして,B_n(x)はBernoulliの多項式です。
その時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)が成立つらしいのですが
どうすれは変形できるのか分かりません。どうぞご教示くださいませ。

回答No.3

stomachman

率直に申し上げて、ベルヌーイ多項式をどうこうするには計算力が余りに弱過ぎです。Σが扱えないのでしょう。これはヤバいですぜ。危機感を持っていっぱい練習して下さいな。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
> 右辺をxでh回微分してx→0すると

　なんだかいっぱい書いてありますが、右辺のh階微分は暗算で出来なきゃおかしいですよ。
　　((∂/∂x)^h)右辺(x) = ((u^(h+1))/(e^u-1))e^{ux)
これにx=0を代入すると
　　((∂/∂x)^h)右辺(0) = (u^(h+1))/(e^u-1)
です。

> 左辺をxでh回微分してx→0すると

　丁寧に考えれば特別難しい訳ではないんですが、どうも出来ないようですね。しょうがねーから説明しましょう。
　まず、B_n(x)のh階微分は
　　((∂/∂x)^h)(B_n(x))
　　= ((∂/∂x)^h)Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
だから
(1) n-h≧0のとき、
　　((∂/∂x)^h)(B_n(x)) = Σ{k=0}^(n-h) (nC(n-k))((n-h)!/h!)(x^(n-h-k))B_k
　　　　（総和の範囲が変わるのは、定数の微分は0だからです。）nC(n-k)を展開して
　　= Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k)!/k!)((n-k)!/(n-k-h)!)(x^(n-h-k))B_k
　　= Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k
(2) n-h＜0のとき、（全ての項がh階微分によって0になっちゃうので）
　　　((∂/∂x)^h)(B_n(x)) =0
です。
　従って左辺のh階微分は
　　((∂/∂x)^h)左辺(x)
　　= Σ_{n=0}^∞((u^n)/n! )((∂/∂x)^h)(B_n(x))
　　= Σ_{n=h}^∞((u^n)/n! )Σ{k=0}^(n-h) (n!/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k
　　　　（0の項を取り除いたから、総和の範囲が変わるんです。）
　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)Σ{k=0}^(n-h) (1/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k

　これにx=0を代入すれば、(x^(n-k-h))は(n-k-h)=0の場合（つまり定数項）以外はみんな0になるから、
　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)(1/(n-h)!)B_(n-h)
さらにm=n-hとおいてhを消去すると
　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
　　= Σ_{m=0}^∞(u^(m+h))(1/m!)B_m
　　= (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!

　以上から、
　　 (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m! = (u^{h+1))/(e^u-1)
が成立つことが確かめられました。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 　まず、B_n(x)のh階微分は
> 　　((∂/∂x)^h)(B_n(x))
> 　　= ((∂/∂x)^h)Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
> だから
：
> 　　　　（0の項を取り除いたから、総和の範囲が変わるんです。）
> 　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)Σ{k=0}^(n-h) (1/(n-k-h)!/k!)(x^(n-h-k))B_k

http://milky.geocities.jp/emilyhoriedion/prop.jpg
となったのですがどうしても上から3行目と下から2行目の??の式変形の理由が分かりません。
∂^h/∂x^hΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=Σ_{n=0}^∞∂^h/∂x^h B_n(x)u^n/n!
の変形はΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!が一様収束するからだと思います。
その為にWeierstrassのM-testを利用するのだと思いますが優級数がどうしても見つけれません。
|B_n(x)u^n/n!|はどんな優級数で抑えれるのでしょうか?

あと,下から2行目の式変形はどのように行われたのでしょうか?

> 　これにx=0を代入すれば、(x^(n-k-h))は(n-k-h)=0の場合（つまり定数項）以外はみんな0になるから、
> 　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
> 　　= Σ_{n=h}^∞(u^n)(1/(n-h)!)B_(n-h)
> さらにm=n-hとおいてhを消去すると
> 　　((∂/∂x)^h)左辺(0)
> 　　= Σ_{m=0}^∞(u^(m+h))(1/m!)B_m
> 　　= (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!

このようになる事は納得です。

> 　以上から、
> 　　 (u^h)Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m! = (u^{h+1))/(e^u-1)
> が成立つことが確かめられました。

今,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)成立を示しているのですよね。
((∂/∂x)^h)Σ_{n=0}^∞B_n(0)u^n/n!=Σ_{m=0}^∞B_m(u^m)/m!
と
((∂/∂x)^h)ue^{u・0}/(e^u-1) = (u^(h+1))/(e^u-1)
となる事はわかりましたがこれらからどうして
等式Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)成立が言えるのでしょうか?

お手数お掛けしまして大変大変申し訳ございません。m(_ _)m