Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が

質問

識者の皆様よろしくお願い致します。

B_nはz/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n! (但し,|z|<2π)を満たす数でBernoulli数といいます。
そして,B_n(x)はBernoulliの多項式です。
その時,Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)が成立つらしいのですが
どうすれは変形できるのか分かりません。どうぞご教示くださいませ。

回答No.1

stomachman

> z/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!

はB_nの母関数です。これをzでj回微分した式は右辺の定数項がB_jになるので、z→0とするとB_jが出て来る（はず）という仕組み。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)

こちらはB_n(x)の母関数ですね。これをuでj回微分した式は左辺の定数項がB_j(x)になるので、u→0とするとB_j(x)が出て来る（はず）という仕組み。

　では、この式を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか？
　右辺の計算は簡単です。結果をz/(e^z-1)と比較すれば、「一体何をやったのか」が分かるでしょう。左辺を計算するには
　　B_n(x) = Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
を使う必要がありますね。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

>> z/(e^z-1)=Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!
>はB_nの母関数です。これをzでj回微分した式は右辺の定数項がB_jになるので、
> z→0とするとB_jが出て来る（はず）という仕組み。

lim_{z→0}d/dz Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d/dz(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_1
lim_{z→0}d^2/dz^2 Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d^2/dz^2(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_2
：
lim_{z→0}d^j/dz^j Σ_{n=0}^∞B_n z^n/n!=lim_{z→0}d^j/dz^j(B_0 z^0/0!+B_1 z^1/1!+…)=B_j
となるのですね。

> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1)
>こちらはB_n(x)の母関数ですね。

この等式成立を示したいのです。

> これをuでj回微分した式は左辺の定数項がB_j(x)になるので、
>u→0とするとB_j(x)が出て来る（はず）という仕組み。

lim_{u→0}d/duΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=lim_{u→0}d/du(B_0(x)u^0+B_1(x)u^1+…)=lim_{u→0}(B_1(x)+2B_2x^1+…)=B_1(x)
lim_{u→0}d^2/du^2Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=lim_{u→0}d^2/du^2(B_0(x)u^0+B_1(x)u^1+…)=lim_{u→0}d/du(B_1(x)+2B_2x^1+…)
=lim_{u→0}(2B_2+3・2B_3x^1+…)=2B_2(x)
lim_{u→0}d^3/du^3Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=3・2B_3(x)
：
lim_{u→0}d^j/du^jΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n=j(j-1)(j-2)…3・2B_j(x)
となりますね。

>　では、この式を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか？

lim_{x→0}d/dx B_n(x)=nCn-1 B_{n-1}
lim_{x→0}d^2/dx^2 B_n(x)=2 nCn-2 B_{n-2}
：
lim_{x→0}d^h/dx^h B_n(x)=h(h-1)(h-2)…3・2 nCn-h B_{n-h}

> 右辺の計算は簡単です。結果をz/(e^z-1)と比較すれば、「一体何をやったのか」が分かるでしょう。

つまり,e^{ux}Σ_{n=0}^∞B_n u^n/n!=Σ_{n=0}^∞B_n(x) u^n/n!が成り立つという事でしょうか?

> 左辺を計算するには
>　B_n(x) = Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
> を使う必要がありますね。

ええっと,
ue^{ux}/(e^u-1)=e^{ux} u/(e^u-1)=e^{ux} Σ_{n=0}^∞B_n z^u/n!=Σ_{n=0}^∞(ux)^n/n!Σ_{k=0}^∞B_k z^u/k!
となり,一方,
Σ_{n=0}^∞B_n(x) u^n/n!=Σ_{n=0}^∞Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k)) u^n/n!
=Σ_{n=0}^∞u^n/n!Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))
となりましたがこれから
Σ_{n=0}^∞(ux)^n/n!Σ_{k=0}^∞B_k z^u/k!をΣ_{n=0}^∞u^n/n!Σ{k=0}^n (nC(n-k))B_k (x^(n-k))に変形できません。
一体どうすればいいのでしょうか?