x=Ux'という形を満たすn×n直交行列Uの存在?

質問

こんにちは。

R^n∋x:=(x_1,x_2,…,x_n)^T≠0をn次ベクトルとすると,
x=Ux' (ただし,x':=(x'_1,x'_2,…,x'_{n-m},0,…,0)^T∈R^n, 1<m<n)という形を満たす
n×n直交行列Uの存在を示したいのですがどうすればいいでしょうか?

なお, 「^T」は転置を表します。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

ANo.4へのコメントについてです。

> 長さが変わらないということは回転という事ですね。
> したがって,|x|=|x'|ならx=Ux'なる正規直交行列Uが在るという事ですね。

　まさしくその通りです。寸止めしてないで最後まで説明致しますと、

（ANo.4の通り）任意のn次元ベクトルx, yについて、|x| = |y| であることと、x = Vy となる正規直交行列Vが存在することは同値。

ということから、ただちに

任意のn次元ベクトルx, x'について、|x|≠0かつ|x'|≠0であることと、x = Ux' となる直交行列Uが存在することとは同値。

が言えます。（U = (|x|/||x'|)V とすれば良いだけ。）

　以上をご質問と対比すれば、

> n×n直交行列U

が存在するためには、ご質問には書かれていない

|x'|≠0

という条件が必要である。一方、

> ただし,x':=(x'_1,x'_2,…,x'_{n-m},0,…,0)^T∈R^n, 1<m<n)という形を満たす

という限定は全く無視して良い。（その形になっていても、いなくても、「n×n直交行列U」は存在する。）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　さて、ANo.4へのコメントの後半部分について、

> それで例えば x':=(|x|,0,0,…,0)^Tと採ると,

Uが具体的にどうなるかを考えて、

> それでこのUが本当に正規直交行列になっているかを確かめてみます。

という演習をお考えである。素晴らしい取り組みだと思います。しかし、

> この時のUはU=1/|x|^2x(|x|,0,0,…,0)と書けますね。

あらら、この式じゃ駄目ですね。
　うーん、なんでそうなっちゃったのかな？ もしかして「x=Ux'ならUは直交行列だ」という話だと勘違いなさっている？（ご質問の問題も、またANo.4も、そんな事言ってないんですが。）

　x=Ux'を満たす正方行列Uというだけなら、直交行列に限らずいろんな行列がこれを満たします。ですが問題は「直交行列であってしかもx=Ux'となるものがあるか」ということです。その答は「|x|=|x'|≠0ならば、ある」であり、そのUの作り方は既に説明した通りです。

　なお、ANo.4で説明したUの作り方にはテキトーに決めて良い部分が含まれ、つまりこれは「直交行列であってしかもx=Ux'となるもの」だけでも無限個存在する、ということを意味します。具体的には、ベクトルxを軸としてθだけ回転する行列R(θ)（これはx=R(θ)xを満たす正規直交行列のひとつです）を用意する。すると、「直交行列であってしかもx=Ux'となる」Uをひとつ決めたとき、R(θ)Uもまた直交行列であってしかもx=R(θ)Ux'となるわけで、だから、「直交行列であってしかもx=Ux'となるもの」が無限個作れる。

お礼

上述のUは全くの無意味でした(恥)。

直交行列は任意x≠0に対して,|x|=|Ux|なる行列なのでした。

私のUは特定のxにしか成り立ちませんね。

補足

>> この時のUはU=1/|x|^2x(|x|,0,0,…,0)と書けますね。
> あらら、この式じゃ駄目ですね。
>　うーん、なんでそうなっちゃったのかな？ もしかして>「x=Ux'ならUは直交行列だ」という話だと勘違いなさってい
> る？（ご質問の問題も、またANo.4も、そんな事言ってない
> んですが。）

詳細に計算してみますと

これは今,x≠0の時, xとx':=(|x|,0,0,…,0)^Tの長さは等しいですよね。
何故なら|(|x|,0,0,…,0)|=√|x|^2=|x|…(*)より。

従って,∃U:直交行列; x=Ux'と書けますね。
何故なら,
「xとx'との長さが等しい」の必要十分条件は
「∃U:直交行列; x=Ux'」なので。

ゆえに,Ux'=xの両辺にx'^Tを掛けると,

Ux'x'^T=xx'^T

U|x'|^2=x(|x|,0,0,…,0)

U|x'|^2=
x_1|x|,0,0,…,0
x_2|x|,0,0,…,0
:
x_n|x|,0,0,…,0

U=
1/|x'|^2 x_1|x|,0,0,…,0
1/|x'|^2 x_2|x|,0,0,…,0
:
1/|x'|^2 x_n|x|,0,0,…,0

U=
1/|x|^2 x_1|x|,0,0,…,0
1/|x|^2 x_2|x|,0,0,…,0
:
1/|x|^2 x_n|x|,0,0,…,0
(∵(*))

U=
x_1/|x|,0,0,…,0
x_2/|x|,0,0,…,0
:
x_n/|x|,0,0,…,0

それでUU^T=I:単位行列となる事をチェックしてみますと,
UU^T=
x_1/|x|,0,0,…,0
x_2/|x|,0,0,…,0
:
x_n/|x|,0,0,…,0
・
x_1/|x|,x_2/|x|,…,x_n/|x|
0,0,0,…,0
:
0,0,0,…,0
=
1/|x|^2
・
x_1x_1,x_1x_2,…,x_1x_n
x_2x_1,x_2x_2,…,x_2x_n
:
x_nx_1,x_nx_2,…,x_nx_n

となってしまって,単位行列Iに辿り着けなく困っているのです。
(対角成分が全て1且つそれ以外の成分は0とはどうすれば言えますか)

回答No.4

stomachman

ご質問の条件に限らず一般に、任意のn次元ベクトルx, x'について、|x| = |x'| （つまり(x^T)x = (x'^T)x'、^Tは転置）であるということと、x = Ux' となる正規直交行列Uが存在するということは同値。
∵
(1) |x| = |x'| = 0の場合、
　Uは正規直交行列なら何でもOKなんで、たとえばUを単位行列とすればよし。
(2) |x| = |x'| ≠ 0の場合、
　　P((1,0,…,0)^T) = x'/|x'|
　　Q((1,0,…,0)^T) = x/|x|
となる正規直交行列P,Qの存在は自明。（たとえばQについて考えると、1列目はx/|x|。2列目はデタラメに選んだベクトルから、1列目と平行な成分を除き、正規化(=長さが1になるように)する（もし結果が0ベクトルになっちゃったら2列目を選ぶ所からやりなおし）。3列目はデタラメに選んだベクトルから、1列目と平行な成分を除き、2列目と平行な成分を除き、正規化する（もし結果が0ベクトルになっちゃったら3列目を選ぶ所からやりなおし）。以下同様。）
　だから、
　　U = Q(P^T)
とすればよし。
　逆に、x = Ux' となる正規直交行列Uが存在するのなら、
　　(x^T)x = (x'^T)(U^T)Ux' = (x'^T)x'

お礼

有難うございます。だんだんと分かってきました。

長さが変わらないということは回転という事ですね。
したがって,|x|=|x'|ならx=Ux'なる正規直交行列Uが在るという事ですね。

それで例えば x':=(|x|,0,0,…,0)^Tと採ると,
|x|=|x'|だからxとx'は回転関係にあり,x=Ux'と書ける。
この時のUはU=1/|x|^2x(|x|,0,0,…,0)と書けますね。

それでこのUが本当に正規直交行列になっているかを確かめてみます。

UU^T = 1/|x|^2 x(|x|,0,0,…,0)(1/|x|^2x(|x|,0,0,…,0))^T
= 1/|x|^4 x(|x|,0,0,…,0)(|x|,0,0,…,0)^Tx^T
= 1/|x|^2 xx^T

と計算でき,ここでxx^Tは

x_1x_1,x_1x_2,…,x_1x_n
x_2x_1,x_2x_2,…,x_2x_n
:
x_nx_1,x_nx_2,…,x_nx_n

となりすよね。ゆえに,

対角成分x_1x_1,x_2x_2,…,x_nx_nは
x_1x_1=x_2x_2=…=x_nx_n=|x|^2,
それ以外の成分は0になられば1/|x|^2 xx^T=I(:単位行列)が出てきませんよね。

一体どうすれば,

x_1x_1,x_1x_2,…,x_1x_n
x_2x_1,x_2x_2,…,x_2x_n
:
x_nx_1,x_nx_2,…,x_nx_n

から

対角成分が|x|^2
で
対角以外の成分が0になる事が言えるのでしょうか?

補足

正確に言うと

|x|=|x'|なる0≠x,x'∈R^nに対して,
∃!U∈O(n) (ただし,O(n)はn×n直交行列の集合) such that x=Ux'.

と言えるのですね。

回答No.3

Tacosan

あ, 「1<m<n」を見落としてた.

とはいえ, この質問文から「そう読め」ってのもちょっと無理がある. 問題文は
x と x' が与えられたときに x = Ux' を満たす直交行列U が存在することを示せ
と読めちゃうんで.

ただし, 問題をそう解釈するなら話は簡単です. 任意の x≠0 に対し, 直交行列U を使って x = Ux' と書ける x' = (x'_1, ..., x'_{n-m}, 0, ..., 0) で
x'_1 = x_1, ..., x'_{n-m-1} = x_{n-m-1}
を満たすものが必ず存在します. つまり, m が n-1 のときだけ示せば十分です.

方針はいろいろある.

お礼

どうも有難うございます。
お蔭様で理解が深まりました。

回答No.2

Tacosan

「一般的に存在するってわけじゃない」のは必要性を考えれば明らかなんだけど, 具体例としては
x' = 0
とすると x = 0 以外とれないよね?

で, 2次元でできればいいってのは
2次元で直交変換が作れれば, それを自然に n次元の直交変換にできる
ことからわかります (ブロック対角行列を考えて, その 1ブロックに 2次の直交行列を配置し残りは対角線上に 1 を配置すればいい). あとは右下から順に求める形に変換していくだけ.

あ, 直交写像も直交変換も同じことです. 一般には「変換」は「写像」の一部だけど, この場合にはぴったり一致する.

補足

>「一般的に存在するってわけじゃない」のは必要性を考えれば明らかなんだけど,
> 具体例としては
> x' = 0
> とすると x = 0 以外とれないよね?

ん? これは反例ではなく,対偶ではないでしょうか。。?

すいません。ちょっと混乱してるかもしれません。
改めて題意を書いて見ますと,

『R^n∋x:=(x_1,x_2,…,x_n)^T≠0の時,
for 1<∀m<n, R^{n×n}∋∃Uは直交行列,∃x':=(x'_1,x'_2,…,x'_{n-m},0,…,0)^T∈R^n such that x=Ux'』

ですよね。
なので,反例は
『或るx≠0については,1<∃m_0<n; for R^{n×n}∋∀Uは直交行列,∀x':=(x'_1,x'_2,…,x'_{n-m},0,…,0)^T∈R^nに対しても x≠Ux'となる』
となるようなx(≠0)を挙げねばなりませんよね。

"x'=0とすると"とはどう解釈すればいいのでしょうか?

回答No.1

Tacosan

一般的に存在するってわけじゃないことは前提として.

・直交行列の集合が行列の積に関して閉じている
・2次元で (a, b) から (c, d) への直交写像が存在する
を示せばいい.

補足

> 一般的に存在するってわけじゃないことは前提として.

え!?? マジですかっ。反例をお教え下さい。

> ・直交行列の集合が行列の積に関して閉じている

直交行列同士の積は直交行列ということですね。
これは
(UV)^TUV=V^T(U^TU)V=V^TIV=Iですから,閉じてますね

> ・2次元で (a, b) から (c, d) への直交写像が存在する
を示せばいい.

直交写像は直交変換の事でしょうか。
直交行列の存在を言えばいいのですよね。

これは(a,b)と(c,d)とのなす角θを
cosθ=((a,b)・(c,d))/(|(a,b)||(d,c)|)
として求めて,
cosθ,-sinθ
sinθ, cosθ
が求める直交行列になりますね。

なぜ2次元でのみ示せばいいのでしょうか?