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tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ
A:R^n→R^nは逆写像を持つ線形写像とする。 <,>:R^n×R^n→Rを内積とする。 tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ。 (tは転置の意味) tAAが対称である事は <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義) =<x,tAAx> と示せたのですが 0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0がどうしても示せません。 どのようにすればしめせますでしょうか?
- kyokoyoshi
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- Tacosan
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#3 をもうちょっと詳しく書くと <tAAx, x> = <Ax, t(tA)x> = <Ax, Ax> ですね.
お礼
ありがとうございます。 解決できました。
- Tacosan
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「tAAが対称である事は <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義) =<x,tAAx> と示せたのですが」 と言ってますけど, 今は「tAA が対称」という条件なので示す必要はないかもしれません. ところで <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> という式はどこから出てきたんでしょうか? 第1項 tAAx のうち tA だけを第2項に移すことは可能でしょうか?
お礼
ご回答ありがとうございます。 > <tAAx,x>=<x,t(tAA)x> > という式はどこから出てきたんでしょうか? 線形写像M:V→Vとしv,w∈Vに対して <Mv,w>=<v,Nw>なるNが一意的に存在する。この時このNをMの随伴と言い,M*(複素数体上の線形空間の場合)もしくはtM(実数体上の線形空間の場合)と表記する。 そして特にM=M*の時,MはエルミートもしくはM=tMの時は対称と呼ぶ。 です。
- ringohatimitu
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対角化できることを用いてよいのであれば簡単に示せますが。
お礼
> 対角化できることを用いてよいのであれば簡単に示せますが。 マジですか! 是非,対角化での証明をお教え下さいませ。m(_ _)m
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お礼
ありがとうございます。 解決できました。