Uとその転置行列の積について

質問

行列の積について質問です。
任意のベクトルに対する回転について調べていたところ、こちらのサイトで説明されていたのですが、
→ttp://www004.upp.so-net.ne.jp/hiromu-i/tips001.html

U=(ux,uy,uz)t 　　（tは転置行列の記号）
UtはUの転置行列
の時、
UUt=
| uxux, uyux, uzux |
| uxuy, uyuy, uzuy |
| uxuz, uyuz, uzuz |

というところが理解できなくて困っています。

Uは(ux,uy,uz)t と書いてあるので、
3行1列の行列と考えて、
Utは(ux,uy,uz)tの転置だから(ux,uy,uz)となるので、
1行3列の行列と考えました。
すると、UUtはスカラーになって
UUt = ux^2+uy^2+uz^2となると思うのですが、

どう理解すれば

UUt=
| uxux, uyux, uzux |
| uxuy, uyuy, uzuy |
| uxuz, uyuz, uzuz |
となるのでしょうか。

どなたか教えて下さい。
宜しくお願いいたします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

>自分の解ってなかった所が分かりました。
>大変な勘違いをしていたのですね。

指摘した通り大変な、しかも基本的なことの勘違いで、これまで何故通り抜けてこられたのか不思議です。

>因みに下記の部分について参考になるサイトとか有りませんでしょうか？
>自分の認識では左の掛けられる側の列数と右の掛ける側の行数が一致していないと計算できないと勘違いしていたようです。

一列と一行の掛け算でも
一行と一列の掛け算でも
計算できます。
なので知識としては合ってます。
しかし、前半の知識が抜け落ちて見えるようです。

>ググッてみたんですが、どうも該当するものが出てこないです。
>何卒宜しくお願いいたします。

参考URLの[行列の積]の所をご覧下さい。
●［ｍ×ｎ型］［ｎ×ｐ型］＝［ｍ×ｐ型］（ｍが行数、ｐが列数）
積が定義されるためには，左の列数と右の行数が等しくなければなりません。図をよく見て、下の2つの場合を比較して考えて見てください。

貴方がお覚えていた方は内積が定義できる場合です。
UtU=［１×３型］［３×１型］＝［１×１型］
これは内積と同じタイプの積、要素が１つのみでスカラーと同じ。

他方、欠落していたのは
UUt=［３×１型］［１×３型］＝［３×３型］
これは結果が3行3列になります。
（今回の質問の場合の行列の積のタイプ）

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/matrix2.html

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ああ、手が滑りました。

誤
>3行1列に1列3行の行列掛けたら3行3列の行列ですよね。

正
>3行1列に1行3列の行列掛けたら3行3列の行列ですよね。

お礼

有難うございます。
正に

>3行1列に1行3列の行列掛けたら3行3列の行列ですよね。
の部分が理解できません。
何故3行1列に1行3列の行列掛けたら3行3列の行列になるのでしょうか？
この部分が理解できていなかったと分かりました。

参考になるサイトとか有りましたら教えて頂きたいです。

補足

もしかして基礎過ぎて線形代数とかの教科書には載ってないのでしょうか？

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

3行1列に1列3行の行列掛けたら3行3列の行列ですよね。
3行n列にn列3行 でも同じなので、ux, uy, uz はひょっとすると
列ベクトルかも。

いずれにしても行列の掛け算の基本に戻ってください。

回答No.2

info22_

U=(ux,uy,uz)t=
(ux)
(uy)
(uz)

Ut=(ux,uy,uz)

であるから

UUt=
(ux)
(uy)(ux,uy,uz)　　←行列の積の定義に従って要素を計算する
(uz)
=
( uxux, uxuy, uxuz )
( uyux, uyuy, uyuz )
( uzux, uzuy, uzuz )
=
( uxux, uyux, uzux )
( uxuy, uyuy, uzuy )
( uxuz, uyuz, uzuz )

となります。
何か、勘違いしてませんか？

なお、UtUなら
Ut=
(ux,uy,uz)

U=(ux,uy,uz)t
(ux)
(uy)
(uz)

であるから
UtU=(ux^2+uy^2+uz^2) ←一行一列の行列なのでスカラーとみなせる。
=ux^2+uy^2+uz^2　　　←ベクトルの内積に等しい。

お礼

大変有難うございます。
自分の解ってなかった所が分かりました。
大変な勘違いをしていたのですね。

因みに下記の部分について参考になるサイトとか有りませんでしょうか？
自分の認識では左の掛けられる側の列数と右の掛ける側の行数が一致していないと計算できないと勘違いしていたようです。
ググッてみたんですが、どうも該当するものが出てこないです。
何卒宜しくお願いいたします。
------------------------------------------------------------
UUt=
(ux)
(uy)(ux,uy,uz)　　←行列の積の定義に従って要素を計算する
(uz)
=
( uxux, uxuy, uxuz )
( uyux, uyuy, uyuz )
( uzux, uzuy, uzuz )

回答No.1

yyssaa

U=(ux,uy,uz)t がU=(ux,uy,uz)の誤りか、
UUtがUtUの誤りではありませんか？