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Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!の変形が
stomachmanの回答
- stomachman
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ANo.1のコメントについてです。 なんか計算なさっているようですけど、 >> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1) >> を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか を右辺左辺それぞれやった所がどうも見つからない… 小細工無用でとにかくやってみれば？
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どうも有難うございます。 >>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1) >>> を（uではなく）xでh回微分してx→0にしたら何が起こるか > を右辺左辺それぞれやった所がどうも見つからない… > 小細工無用でとにかくやってみれば？ Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=ue^{ux}/(e^u-1) の右辺をxでh回微分してx→0すると lim_{x→0}d/dx ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^2e^{ux}/(e^u-1)=u^2/(e^u-1) lim_{x→0}d^2/dx^2 ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^3e^{ux}/(e^u-1)=u^3/(e^u-1) ： より lim_{x→0}d^h/dx^h ue^{ux}/(e^u-1)=lim_{x→0}u^{h+1}e^{ux}/(e^u-1) =u^{h+1}/(e^u-1)=u^hΣ_{n=0}^∞B_n u^n となり,左辺をxでh回微分してx→0すると lim_{x→0}d/dxΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n! =lim_{x→0}d/dxΣ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n! =1C0 B_0 u^1/1!+2C1 B_1 u^2/2!+3C2 B_2 u^3/3!+… lim_{x→0}d^2/dx^2Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n! =lim_{x→0}d^2/dx^2Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n! =2C0 B_0 2u^2/2!+3C1 B_1 2u^3/3!+4C2 B_2 u^4/4!+… lim_{x→0}d^3/dx^3Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n! =lim_{x→0}d^3/dx^3Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n! =3C0 B_0 3・2u^3/3!+4C1 B_1 3・2u^4/4!+5C2 B_2 3・2u^5/5!+… lim_{x→0}d^4/dx^4Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n! =lim_{x→0}d^4/dx^4Σ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n! =4C0 B_0 4・3・2u^4/4!+5C1 B_1 4・3・2u^5/5!+6C2 B_2 4・3・2u^6/6!+… ： より lim_{x→0}d^h/dx^hΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n! =lim_{x→0}d^h/dx^hΣ_{n=0}^∞Σ_{i=0}^n nCi B_i x^{n-i} u^n/n! =hC0 B_0 h・(h-1)…4・3・2u^h/h!+(h+1)C1 B_1 h・(h+1)…4・3・2u^{h+1}/(h+1)!+(h+2)C2 B_2 h・(h-1)…4・3・2u^{h+2}/(h+2)!+… =B_0 u^h/0!+B_1 u^{h+1}/1!+B_2 u^{h+2}/2!+… =Σ_{n=0}^∞B_n u^{h+n}/n! =u^hΣ_{n=0}^∞B_n u^n/n! となりました。 つまり, f(x):=Σ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!, g(x):=ue^{ux}/(e^u-1)と置くと j=1,2,…,に於いて,lim_{x→∞}f(x)^(h)=lim_{x→∞}g(x)^(h)が成り立つ事が分かりました。 これからどのようにしてf(x)=g(x)が言えるのでしょうか? お手数お掛けしまして申し訳ありません。