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数列n^2の和の公式
nag0720の回答
数列 A[n]=n^3 の階差数列をB[n]とします。 つまり、 B[n]=A[n]-A[n-1]=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1 Σ[k=1・・・n]B[k] =Σ[k=1・・・n](3k^2-3k+1) =3Σ[k=1・・・n]k^2-3Σ[k=1・・・n]k+Σ[k=1・・・n]1 =3Σ[k=1・・・n]k^2-3n(n+1)/2+n 一方、 Σ[k=1・・・n]B[k] =Σ[k=1・・・n](A[k]-A[k-1]) =(A[1]-A[0])+(A[2]-A[1])+(A[3]-A[2])+・・・・+(A[n]-A[n-1]) =A[n]-A[0]=n^3 なので、 3Σ[k=1・・・n]k^2-3n(n+1)/2+n=n^3 これから、 Σ[k=1・・・n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6 となります。 n^3、n^4なども和も同様の方法で求めることができます。
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