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数学
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- alice_44
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それでよい。
- ferien
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a1=2,a[n+1]=a[n]/(a[n]+1) (n=1,2,…)によって定義される数列{a[n]}を考える。 ＞(1)数列{a[n]}の一般項を求めよ。 ａn+1＝ａn／（ａn＋１）より、１／ａn+1＝（ａn＋１）／ａn＝１＋（１／ａn） １／ａn＝ｂnとおくと、ｂn+1＝１＋ｂnより、ｂn+1－ｂn＝１ ｂn－ｂn-1＝１ ……… ｂ3－ｂ2＝１ ｂ2－ｂ1＝１ 両辺を足すと打ち消し合うから、 ｂn－ｂ１＝ｎ－１ ｂ1＝１／ａ1＝１／２より、 ｂn＝ｂ1＋（ｎ－１） ＝（１／２）＋（ｎ－１） ＝（２ｎ－１）／２ よって、ａn＝２／（２ｎ－１） ＞(2)∑[n,k=1]a[k]a[k+1],∑[n,k=1]2^k/a[k]を求めよ。 ａkａk+1＝４／（２ｋ－１）（２ｋ＋１）より、 ∑[n,k=1]a[k]a[k+1] ＝４｛１／１・３＋１／３・５＋……＋１／（２ｎ－１）（２ｎ＋１）｝ ＝（４／２）｛（1－1/3）＋（1/3－1/5）＋……＋（1/(2n-1)－1/(2n+1)）｝ ＝２｛１－１／（２ｎ＋１）｝ ＝４ｎ／（２ｎ＋１） ２^k／ａk＝２^k（２ｋ－１）／２＝２^(k-1)（２ｋ－１）より、 Ｓn＝∑[n,k=1]2^k/a[k] ＝２^0・１＋２・３＋２^2・５＋……＋２^(n-1)・（２ｎ－１） ２Ｓn＝２・１＋２^2・３＋……＋２^(n-1)・（２ｎ－３）＋２^n・（２ｎ－１） Ｓn－２Ｓn＝２^0・１＋（２・２＋２^2・２＋……＋２^(n-1)・２）－２^n・（２ｎ－１） －Ｓn＝－１＋（２＋２・２＋２^2・２＋……＋２^(n-1)・２）－２^n・（２ｎ－１） ＝－１＋２（２^n－１）／（２－１）－２^n・（２ｎ－１） ＝－１＋２・２^n－２－２^n・（２ｎ－１） ＝－３－２^n・（２ｎ－３） よって、Ｓn＝∑[n,k=1]2^k/a[k]＝２^n・（２ｎ－３）＋３ でどうでしょうか？自分で計算して確認してみて下さい。
- alice_44
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b[n] = 1/a[n] と置いてみよし。
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