ジョルダンの閉曲線定理は３次元に拡張できますか？

質問

ジョルダンの閉曲線定理は３次元に拡張できますか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%B3%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E5%AE%9A%E7%90%86

によると、

X を n 次元球面 Sn から n + 1 次元ユークリッド空間 Rn+1 への単射連続写像とする。このとき、X の像の補集合は二つの互いに素な連結成分からなり、二つの連結成分の一方は有界（内部）で他方は非有界（外部）で、X は両成分の共通の境界である。

と書いてありますが、

Mが、R^3内連結な閉曲面であるばあい、Mの
補集合は二つの互いに素な連結成分からなり、
二つの連結成分の一方は有界（内側）で他方は非有界（外側）で、M は両成分の共通の境界である。

といったようなことは、言えないのでしょうか？

回答No.6

eclipse2maven

>クラインのツボが何故R^3に埋め込めないのかよくわからない。
長方形の向かい合う辺を同じ向きに同一視して　張り合わせると　トーラスが出来ますが

一組は同じ向きで　もう一組は　向きを反対に張り合わせるのが　クラインの壷です。

ちゃんとした証明は思いつきませんが、実際、張り合わせるのは、筒を側面をすり抜けないと無理ですよね。よく4次元ものの本なんかで引き合いに出される話です。もう一次元高い次元をくぐってこないと筒の中に筒の端を持ってきて内側からあわせることなんか無理ですよね。

この部分をどう数学的に言うかは知りませんが。。。

お礼

回答ありがとうございました。

本題、なかなか回答が得られそうにないので、
一旦閉じます。
ありがとうございました。

回答No.5

eclipse2maven

No1 について

あ、No.1 は　単純に思い違いです（＾＾；。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.4

eclipse2maven

ん？　閉曲面って位相多様体ぐらいは仮定してないの？

位相幾何の本のジョルダンの曲線定理および一般化の証明は、ホモロジー群で証明してます。えっと０次のホモロジーがが
連結成分だっけ。

2次元の連結な閉曲面、位相的には　分類されてますよね？　向きと種数でしたよね。　これらはホモロジーで決まってたから、
結局、同じように0次のホモロジーが計算できちゃえば、それで示せると思うけど。ちがうかな？

R^3 で実現できてる閉曲面となると、向きづけ不能な、クラインの壷とかは、除外されてるわけだけど。

まちがってたら、ごめんなさい

お礼

ホモロジーという概念をきちんと理解してませんが、
多角形、多面体と同相か否かという話でしたっけ。

閉曲面の分類定理自体は、多角形式の分類という意味では
なんとなく理解できているつもりなんですが、

{多角形の辺を張り合わせてできる空間で、かつ境界がない空間全体}
＝{２次元の閉多様体全体｝

は言えるのでしょうか？

”i:R^2多角形→R^3
の商写像が埋め込みになっているとは”

というのは、私の勘違いです。すみません。

補足

閉曲面の分類定理に関連して、少し脇道にそれますが、
クラインのツボが何故R^3に埋め込めないのかよくわからない。

単純に、

i:R^2多角形→R^3

の商写像が埋め込みになっているとは言えないのでしょうか？

回答No.3

stomachman

ANo.2のコメントについてです。

> 自己交差のない場合に限っていいです。

　おお、なるほど。例外が出てきたら後出しでハジく、というやり方で「といったようなこと」を言おうという方針なのですね。単連結とか、向き付け可能とか、追加条件がだんだん増えるのアリだと。さて、そのやりかたで、メンガーのスポンジだとか、断面がペアの曲線になってる柱だとか、あんまり自明とは言えなさそうなフラクタル曲面を上手にハジいたりハジかなかったりできるかなあ。どうなんでしょう。

お礼

「一応Ｒ＾３に埋め込まれた」と言ってる時点で、
自己交差のある曲面は除外されているような気がします。

自己交差がある場合、少なくともＲ＾３の部分多様体にはならない
ので。

補足

単に、MがＲ＾3に埋め込まれた連結な微分可能多様体で、
かつ、コンパクトで境界がない多様体（従って自己交差もない）とした場合、

「Mの補集合は二つの互いに素な連結成分からなり、二つの連結成分の一方は有界（内側）で他方は非有界（外側）で、M は両成分の共通の境界である。」

といえますか？

回答No.2

stomachman

「Mが、R^3内連結な閉曲面である」というだけだと、自己交差した曲面、向き付けできない曲面も含まれるからダメでしょう。多分、

Jordan-Brouwerの分離定理：n-1次元球面をn次元ユークリッド空間に埋め込むと、ユークリッド空間は2つの互いに素な連結領域に分かれる。

というような事をお考えなのではないでしょうか。逆は言えない。反例"Alexander's horned sphere"の画像を探せば、John Horton Conway先生のケッサク似顔絵が見つかるはず。

お礼

自己交差のない場合に限っていいです。

よく物理の教科書には、「-閉じていて内部に空間の一部を完全に包み込んでいる曲面」

と書かれているのですが、数学の本にこういう記述を、定理としてきちんと
書いてある記述をみたことがないので（球面と閉曲線についてはかかれている）…。

回答No.1

eclipse2maven

トーラス考えれば、　補集合の連結成分は　３つ

お礼

２つのような気がしますが…。

Ｋｎｏｔのようなことが起こっている場合
とかには、そういうことができるとかですか？