次元、線型代数

質問

実数または複素数（この集合をＫとする）を成分とするm×n行列全体の集合は、Ｋの上のベクトル空間であることを証明し、この場合、零ベクトルとなるものを求め、このベクトル空間の次元を求めよ。
という問題で、ベクトル空間になっていることは示せたのですが、
１．零ベクトルについて
「すべての成分が0である行列をOとすると、明らかにOは零ベクトルである。また、零ベクトルは唯1つしかないからこれが零ベクトルである。」
で問題ないですか？
２．次元について
m×nだと思うのですが、どう証明すればよいかわかりません。おしえてください。
以上2つありますが宜しくお願いします。

回答No.1

fool_ish

加法とスカラー倍として，通常の行列のそれらを考えているはずだから，1. はそれでよい．
2. は，i, j 成分のみ1で，他の成分が0であるような行列を A_{i, j} とすると，
{ A_{i, j} }_{1<=i<=m, 1<=j<=n} が基底であることからしたがう．

お礼

ありがとうございました。
よくわかりました。