代数学の問題

質問

有限非可換群S3について
{1,2,3}から{1,2,3}への全写像全体
e=(1)
a=(1 2)
b=(2 3)
c=(3 1)
f=(1 2 3)
g=(1 3 2)

ここで算法の表を作る際の答えの出し方がわかりません
e×a= ,b×b, c×f ,f×fを例にして教えてください

f×fの場合
f×f=(1 2 3)(1 2 3)=(1 3 2)となるようなんですが
やり方が1→2→3 3→1→2 2→3→1
のように書いてあったんですがよくわかりません

どなたか教えてください
おねがいします

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

積を計算するには、巡回置換の記法より、
コーシーの記法のほうが扱いやすい。

例えば、f は、コーシーの記法で
1 2 3
2 3 1
となるから、これと、
これの列を並べ替えた
2 3 1
3 1 2
を縦につないで、
1 2 3
2 3 1
3 1 2
中央の行を無視して、
結果をコーシーの記法で書けば
1 2 3
3 1 2
巡回置換の記法で書き換えれば
(1 3 2)

置換は写像なのだということを
意識すれば、「縦につない」だ
意味は理解できるはず。

回答No.1

OurSQL

> やり方が1→2→3 3→1→2 2→3→1
こういうことを覚えるのも大切ですが、それ以上に、まずは対称群（というか、一般の群）の基本を勉強した方が効果的だと思います。

この群の単位元が何であるか分かっていれば、少なくとも e×a はすぐに分かるはずです（積は写像の合成ですから、それを表すのに × という記号は、気分的にあまり使いたくないですけどね）。

b×b がすぐに求められないのは、互換の意味がよく理解できていないからだと思います。

c×f や f×f を求めようとする前に、まず c(1), c(2), c(3), f(1), f(2), f(3) を求めてみるのがお勧めです。
そうすれば、c×f(1), c×f(2), c×f(3), f×f(1), f×f(2), f×f(3) がすぐに求まるので、c×f と f×f も簡単に求められます。
e×a と b×b も、これと同様の方法で求めることもできます。