代数学の問題なんですが・・・

質問

（Ｇ，。）: 群　　a, b はＧの元　　ba = a(b^2), a^2 = e, b^3 = e
このとき、<a,b>の元を列挙せよ。
という問題の答えが、<a,b>={(a^i)(b^j) | i = 0, 1, j = 0, 1, 2}
となっています。なんとなく理解できているつもりなんですが、
ba = a(b^2)を何処に使っているのかわかりません。
同様に、
（Ｇ，。）: 群　　a, b はＧの元　　a^2 = e, b^4 = e, ab = (b^-1)a
このとき、<a,b>の元を列挙せよ。
という問題の答えは、<a,b>={(a^i)(b^j) | i = 0, 1, j = 0, 1, 2, 3}
でいいのでしょうか。
アドバイスお願いします。

回答No.3

nakaizu · ベストアンサー

参考問題の解答です。
条件より
ababab=e
ですがこの両辺にaやb^2をかけてやると
ababa=b^2
abab=b^2a
aba=b^2ab^2
等の関係式がでてきます。
これらの式を使うと
この群は
{e,a,b,b^2,ab,ab^2,ba,b^2a,aba,bab,bab^2,b^2ab}
の12の元からなりたつことがわかります。
つまり、aとbを適当に掛け合わせたものは上にでてきた関係式によって12のうちのどれかと同じになります。
ab^2a=babであることと
四つの積について調べれば十分です。

お礼

回答ありがとうございます！！！
両辺にａやｂ^２を掛ければ、新たな関係式が見えてくるのですね！！
これからもがんばって解いてみます☆
細かくアドバイスほんとにありがとうございました。

回答No.2

nakaizu

あなたが考えておられる群は二面体群と呼ばれているもので、答えの予想は合っています。
一般化して
a^2=e,b^n=e, ab=b^(-1)a
のときに<a,b>をn次の二面体群といって位数は2nとなります。元は予想のjの範囲を変えただけのものです。

しかしながら、問題を理解されているかどうかは疑問です。
条件を変えて
a^2=e,b^3=e,(ab)^3=e
としたときに<a,b>を求めてください。
位数12の群ができるはずです。これができれば正確に理解できておられると思います。

補足

回答ありがとうございます。
で、やはり理解していなかったようです。
提示していただいた問題なのですが、
{(a^i)(b^j)｜ i=0,1,j=0,1,2}と{(ab)^k | k=0,1,2}の和集合
が答えではないかと思ったのですが、位数は９になるので違いますよね。
この問題の解答もお願いできないでしょうか。

回答No.1

tomtom_

2番目が違うんじゃないかと思います．

例えばabaという元を考えると，1番目の群だと

aba = a(ba) = a(abb)=(aa)bb=ebb=bb

となり，結局2個の元で表せますが，2番目の群だと逆元を入れない限り2個の元では表せないのではないでしょうか．
もし可換群なのでしたらごめんなさい．

お礼

回答ありがとうございます！！
もう少し考えてみます☆