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線形代数：対角化の必要条件
- 大学一年の線形代数に関する質問です。
- 3×3の実対称行列AとBについて、Aが直交行列Pによって対角化されるとき、BもPによって対角化されるための必要十分条件はAB=BAです。
- 「Bが実対称行列」←→「対角化可能」は理解していますが、「AB＝BA」←→「Pによって対角化可能」の部分が分かりません。教えていただけますか？
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＃２です。 「Λa,Λbは対角行列のことですよね？」 そうです。 「逆に関しての途中ですが」 以下は読んでいません。 ＡＢ = ＢＡ （Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= （Ｐ^-1ＢＰ）（Ｐ^-1ＡＰ） Λa（Ｐ^-1ＢＰ）= （Ｐ^-1ＢＰ）Λa Ｃ = Ｐ^-1ＢＰ とおくと ΛaＣ = ＣΛa なので、上式より Ｃ = Λb Ｐ^-1ＢＰ = Λb を導けませんか。
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- Tacosan
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へい, 「ゼロベクトルは固有ベクトルではない」というのがポイントです. もちろん, 今の場合は最終的に「(とある) 固有ベクトルのスカラー倍」ということが言えればいいので「ゼロベクトルかどうか」というのは無視していいんですが, 記述においてはやっぱり気を付けておいた方がいいと思う.
お礼
ありがとうございます。 大変助かりました。 おかげさまで、問題が解けるだけでなく理解も深まりました。
- Tacosan
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順序を逆にします. 「なぜ、yがxの定数倍になっていないといけないのでしょうか？」については λi≠λj（i≠j）という条件によります. この条件から「どの固有値についてもその固有空間の次元が 1」である, つまり「どの固有ベクトルもある 1つの固有ベクトルの定数倍である」ことが導けます. で () 内の言葉ですが, それはまさに私が誘導した通りの間違いです. ほとんど固有ベクトルでいいんですが, 実際には「固有ベクトルでない場合」にも成り立つことがありえます. どのような場合であるかは, 固有ベクトルの定義にこっそり書いてあります.
お礼
ありがとうございます。 ＞「どの固有値についてもその固有空間の次元が 1」 わかりました。 教科書の固有値、固有ベクトルの出し方の所を読んだら書いてありました。 ところで、引っかかってしまった点は、「ゼロベクトルは固有ベクトルに含まない」という点でしょうか？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
ベクトルはちゃんと小文字で書こうよと思いつつ, 以下の () に適当な言葉を入れよ: y = Bx とおくと ABx=λ1 Bx は Ay = λ1y とかける. このような y は A の固有値 λ1 に対する ( ) であり, したがって定数 α を用いて y = α x と書くことができる. ちなみに前の時に指摘されているんだけど 「Bが実対称行列」←→「対角化可能」 はなぜ? あと, 「PAP を使う」の意味は不明.
お礼
Ay = λ1y とかける. このような y は A の固有値 λ1 に対する (固有ベクトル) であり, したがって定数 α を用いて y = α x と書くことができる. その従っての部分がよくわかりません。 なぜ、yがxの定数倍になっていないといけないのでしょうか？ 「Bが実対称行列」→「直交行列Pによって対角化可能」の証明 まず、Bは３つの固有値をもつことが導かれる。 さらに、適当な直交行列Pが存在して、 λ1 ＊ P^-1 B P= ... O λ2 と三角化できる。tP=P^-1,tB=Bより、t(P^-1 BP)=P^-1 BP すなわち、P^-1 BPも対称行列。 よって、＊＝Oなので、Bは上の式ですでに対角化されている。 逆の証明 Bが対角化できるので t(P^-1 BP)=P^-1 BP また、tP=P^-1なので、P^-1 BP=p^-1 tBP よって、B=tB。
補足
すいませんPAPは気にしないでください。
- Tacosan
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「良回答があった」んでしょ? なんでなかったことにして全く同じ問題をまた聞くの?
お礼
申し訳ありません。 前回の質問内容は、こちらの記述が不十分だったので。 最初から「分かっている点を明らかにした質問」を行うべきでした。
- shippo_ppk
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（Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= Ｐ^-1(ＡＢ)Ｐ （Ｐ^-1ＡＰ）（Ｐ^-1ＢＰ）= Λa Λb ＡＢを交換したらどうなりますか。
お礼
ありがとうございます。 助かります。 Λa,Λbは対角行列のことですよね？ すると、 Λb Λa = Λa Λb となり、ＡＢ＝ＢＡになりますね！！ 逆に関しての途中ですが、 AX=λ1 X ABX=λ1 BX のとき、（Xは固有ベクトル） BX=αX と表せる は正しいでしょうか？ これが正しいと、Bはα以外にも２つの固有値が存在するため、逆も成立するんですが・・・。 逆の証明 AX=λ1 X BAX=Bλ1 X A(BX)=λ1(BX) BX=αX ・・・
お礼
ΛaＣ = ＣΛa なので、上式より Ｃ = Λb この問題は、３×３行列なので、手計算を施し、P^-1 BPが対角行列だということが導くことができました。 ありがとうございます。 しかし、n×n行列で ΛaＣ = ＣΛa → Ｃ = Λb をいうのは、ちょっと難しそうです。 成分をcijなどと置くのでしょうかね。