数の積の性質(高校数Iなのでしょうか？)について

質問

立て続けで申し訳ないですが、三角不等式の問題を解いてる内に一つ重要なのかどうでも良いのか分からないような疑問が湧いたのでここで。

数(式)の積の性質について、
AB=0 ⇒A=0または B=0
は周知のことと思いますが、
これが不等式の場合の性質は定まっておりましたでしょうか。
例えば、

AB＜0 については、A＜0 B＞0 あるいは、A＞0 B＜0のいずれかになるのでしょうか？
何故こんな質問をしたといいますと…

問 0≦x＜2πのとき、不等式cos2x＜-3cosx+1 を解け

について、これを解いてゆくと

(cosx+2)(2cosx-1)＜0……(1)
になりますが、(1)を等式とみなすと

cosx=-2 にはなり得ませんから、
cosx=1/2 について考えることになると思います(恐らく)。
この場合はどうすれば良いのでしょうか。

穴だらけの質問でご不便お掛けしますが、宜しくお願い致します。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

ご自身で、すでに答えを出しているような・・・

＞そこです。「常に正」の根拠は何なのでしょうか？

＞＞cosx=-2 にはなり得ませんから、
なぜ、-2にはなり得ないのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます

-1≦cosθ≦1 故ですね。

補足

解りました。

-1≦cosx≦1 だから、1+2 -1+2 のいずれも正でしたね。
一方の符号が定まれば、他方も定まるというわけですね。
いや、しかし御迷惑おかけしました。

回答No.7

noname#175206

#6です、不等号、間違えました。すみません。

誤>　(cosx+2)(2cosx-1)＜(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

正>　(cosx+2)(2cosx-1)≦(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

お礼

御配慮に感謝申し上げます

回答No.6

noname#175206

>(cosx+2)(2cosx-1)＜0……(1)

　-1≦cosx≦1より、

　(cosx+2)(2cosx-1)＜(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

でいいんじゃないでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます！

回答No.5

alice_44

←A No.2 補足
A = (cos x)+2
B = 2(cos x)-1
と置いてみましょう。
先刻の話どおり、
AB＜0 ⇔ (A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0)
です。
この問題では、A＞0 が判っている訳だから、
上記を使って
(AB＜0 かつ A＞0) ⇔ ((A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0))かつ( A＞0) ⇔ B＜0
と整理すればよいです。

お礼

流石です。羨ましい限りです

回答No.3

alice_44

かぶり続きで恐縮

お礼

いえいえ。

回答No.2

alice_44

AB＜0 については、
(A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0)
になります。
これは、実数の基本的な性質です。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

やはりそうなりますよね。ただ、質問の三角不等式の問題でその二つの場合を考えますと、cosx=-2にはならないですから、これは置いといても、cosx-(1/2)は、
cosx＜1/2 なのか　cosx＞1/2 なのかがはっきりしません。

回答No.1

Tacosan

AB < 0 なら「A < 0 かつ B > 0」か「A > 0 かつ B < 0」のどちらか, だね.

(1) なら cos x + 2 が常に正なので, これで両辺を割ってしまえばいい.

お礼

回答ありがとうございます。
そこです。「常に正」の根拠は何なのでしょうか？

補足

謎が解けたと思います。恐らく。

出来れば、他のご回答とのやり取りから御判断いただき、駄目押しのご回答をいただけると安心して次に行けます。