確率統計の問題です。

質問

確率統計の問題で、わからないものがあったので詳しい解説をお願いします。

X,Yは独立な確率変数で、共に指数分布(λ)に従っている。この時、V=max{X,Y},U=min{X,Y}を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

MagicianKuma

問題の表現が曖昧ですね。　たぶん、U,Vの分布関数または確率密度関数を求めなさいということでしょうね。
密度関数は分布関数を微分したものです。Uの分布関数P(U≦u)を考えてみましょう。
U=min(X,Y)ですから U≦uとなるのは X≦u または Y≦u　の時です。X,Y独立ですから、与えられた指数分布で計算できそうですね。ただしX≦u かつ Y≦u　の確率を引く必要があります。
するどい人なら、(X＞u かつ Y＞u)でないと考えかもしれません。
P(U≦u) = 1 - P(X>u,Y>u) = 1 - PX(X>u)・PY(Y>u)
PX,PYに指数分布を当てはめてやれば良いわけです。