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一様分布における証明問題
統計学の問題で困っています。 どなたか解ける方おられましたら、是非教えていただきたいです。 よろしくお願いします。 Xを一様分布U(0,1)に従う確率変数とし、αを正の定数とするとき、 Y=-α^(-1)・lnx の分布は指数分布Ex(α)となることを示せ。
- spikeeagle
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Xを一様分布U(0,1)に従う確率変数とし, α>0を正定数とすると x<0の時P(X<x)=0 0≦x≦1の時 P(X<x)=x…(1) x>1の時P(X<x)=1…(2) P(Y<x) =P(-α^{-1}ln(X)<x) ↓[<]の両辺にαをかけると =P(-ln(X)<αx) ↓[<]の両辺にln(X)-αxを加えると =P(-αx<ln(X)) ↓[<]の両辺のexpをとると =P(e^{-αx}<X) =1-P(X≦e^{-αx})…(3) x≧0の時 -αx≦0 だから 0<e^{-αx}≦1 だから(1)から P(X<e^{-αx})=e^{-αx} P(X≦e^{-αx})=e^{-αx} だから(3)から P(Y<x)=1-e^{-αx} x<0の時 -αx>0 だから e^{-αx}>1 だから(2)から P(X<e^{-αx})=1 P(X≦e^{-αx})=1 だから(3)から P(Y<x)=0 x≧0の時 P(Y<x)=1-e^{-αx} x<0の時 P(Y<x)=0 となるから Yの分布は指数分布Ex(α)となる
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お礼
詳細にありがとうございます。 無事理解することができました、感謝します。