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統計学について

統計学のことで質問です。答は出せたのですが、それを導きだす仮定で分からないことがあったので。質問は以下です。 確率変数X,Yは独立とする。確率変数Z=min{X,Y}とする。 P(Z>=n)=P(X>=n)P(Y>=n) このように、できるのは、XとYが独立であるからなのでしょうか。理由がいまいちわからなくて。 独立だったら、なぜ、このように変形できるのでしょうか。 どうか、詳しく解説をお願いします。

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Z=min{X,Y} w∈{w|Z(w)≧n}とすると Z(w)≧n…(1) →X(w)≧min{X(w),Y(w)}=Z(w)≧n →w∈{w|X(w)≧n} →{w|Z(w)≧n}⊂{w|X(w)≧n}…(2) (1)から →Y(w)≧min{X(w),Y(w)}=Z(w)≧n →w∈{w|Y(w)≧n} →{w|Z(w)≧n}⊂{w|Y(w)≧n}…(3) ↓(2)&(3)から →{w|Z(w)≧n}⊂{w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n}…(4) w∈{w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n}とすると (X(w)≧n)&(Y(w)≧n) →Z(w)=min{X(w),Y(w)}≧n →Z(w)≧n →w∈{w|Z(w)≧n} →{w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n}⊂{w|Z(w)≧n}…(5) ↓(4)&(5)から {w|Z(w)≧n}={w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n} ↓ P({w|Z(w)≧n})=P({w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n})…(6) 任意の確率可測集合A,Bに対して P({w|X(w)∈A}∩{w|Y(w)∈B})=P({w|X(w)∈A})P({w|Y(w)∈B}) となるときX,Yは独立という 「独立」の定義から X,Yは独立だから A=B=[n,∞)={r|r≧n} とするとA,Bは可測集合だから P({w|X(w)≧n}∩{w|Y(w)≧n}) =P({w|X(w)∈A}∩{w|Y(w)∈B}) =P({w|X(w)∈A})P({w|Y(w)∈B}) =P({w|X(w)≧n})P({w|Y(w)≧n})…(7) ↓(6)&(7)から∴ P({w|Z(w)≧n})=P({w|X(w)≧n})P({w|Y(w)≧n}) 例) 1回目に振ったサイコロの目をX 2回目に振ったサイコロの目をY とすると X,Yが独立とは関係なく Z=min{X,Y}≧n は1回目か2回目のどちらか小さい方のサイコロの目がn以上となる事象で (X≧n)&(Y≧n) 1回目,2回目のどちらのサイコロの目もn以上となる事象に等しい X,Yが独立であれば P{(X≧n)&(Y≧n)}=P(X≧n)P(Y≧n) が成り立つ

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