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統計学について

統計学の問題です。(1)はできたのですが、(2)(3)ができなくて困っています。解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。 確率変数X、Yは独立でポアソン分布Po(λ),Po(μ)に従うとする。 (2)正の整数nに対して、X+Y=nが与えられた条件の下でX=r(r=0,1,・・・,n)である確率P(X=r | X+Y=n)を求めよ。 (3)X+Y=nが与えられた条件の下でのXの条件付き分布はどのような分布か。そのときの条件付き平均、条件付き分散を求めよ。

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(2) (r=0,1,…,n)に対して nCr=n!/{r!(n-r)!} とすると2項定理から (μ+λ)^n=Σ_{r=0~n}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})…[1] Xはポアソン分布Po(λ)に従うから P(X=r)=e^{-λ}λ^r/r!…………[2] Yはポアソン分布Po(μ)に従うから P(Y=n-r)=e^{-μ}μ^{n-r}/(n-r)! これに[2]を掛けると P(X=r)P(Y=n-r) =e^{-λ-μ}(λ^r)(μ^{n-r})/{r!(n-r)!} =e^{-λ-μ}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/n!…………[3] [3],[1]から P(X+Y=n) =Σ_{r=0~n}P(X=r)P(Y=n-r) =e^{-λ-μ}Σ_{r=0~n}(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/n! =e^{-λ-μ}{(μ+λ)^n}/n! これで[3]を割ると P(X=r|X+Y=n) =P(X=r)P(Y=n-r)/P(X+Y=n) =[n!/{r!(n-r)!}](λ^r)(μ^{n-r})/(μ+λ)^n =(nCr)(λ^r)(μ^{n-r})/(μ+λ)^n (3) p=λ/(μ+λ) とすると 0<p<1 P(X=r|X+Y=n)=(nCr)(p^r)(1-p)^{n-r} F(x)=P(X<x|X+Y=n)=Σ_{k<x}(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} ∴ X+Y=nが与えられた条件の下でのXの条件付き分布は 2項分布である k(nCk)=kn!/{k!(n-k)!}=kn(n-1)!/[k(k-1)!{n-1-(k-1)}!]=n{(n-1)C(k-1)} だから EX=Σ_{k=1~n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} =npΣ_{k=1~n}{(n-1)C(k-1)}(p^{k-1})(1-p)^{(n-1)-(k-1)} =npΣ_{j=1~n-1}{(n-1)Cj}(p^j)(1-p)^{(n-1)-j} =np =nλ/(μ+λ) ∴平均は nλ/(μ+λ) k(k-1)(nCk) =k(k-1)n!/{k!(n-k)!} =k(k-1)n(n-1)(n-2)!/[k(k-1)(k-2)!{n-2-(k-2)}!] =n(n-1)(n-2)!/[(k-2)!{n-2-(k-2)}!] =n(n-1){(n-2)C(k-2)} だから EX^2=Σ_{k=1~n}(k^2)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} =Σ_{k=1~n}k(k-1)(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k}+Σ_{k=1~n}k(nCk)(p^k)(1-p)^{n-k} =n(n-1)p^2Σ_{k=2~n}{(n-2)C(k-2)}(p^{k-2})(1-p)^{n-2-(k-2)}+np =n(n-1)p^2Σ_{j=0~n-2}{(n-2)Cj}(p^j)(1-p)^{n-2-j}+np =n(n-1)p^2+np ↓ VX=E(X-EX)^2 =EX^2-(EX)^2 =n(n-1)p^2+np-(np)^2 =np(1-p) =nλμ/(μ+λ) ∴分散は nλμ/(μ+λ)

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