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中学数学の解説をお願いします。
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ヒントです。 (同じ位置に底面のある2つの三角錐が高さも同じ)場合、 2つの三角錐の体積の比は、底面にある2つの三角形の面積比と同じ。 (三角形の頂点から対辺に線を引いて分けた2つの三角形)の場合、 2つの三角形の面積比は、分けられた線の長さの比と同じ。 以上を下図にしました。 下図で、ABCDEFGHが直方体ならば、AEは平面EFGHに垂直なので∠AEG=90°となり、 直角三角形AEGの辺の長さは、ピタゴラスの定理で計算できます。 APとGPは、ピタゴラスの定理と方程式でも解けます。 APとGPは、△AEGと△APE、△EPGの相似の相当辺の比でも解けます。 下図で、ABCDEFGHが直方体であるとは確認出来ていない場合でも、 四角形ABCDと四角形EFGHが合同で、かつ長方形であるならば、 EFとFGの長さからピタゴラスの定理でEGの長さが6と計算できます。 三角形AEGの3辺が、6,8,10なら、∠AEG=90°と判明します。 四角形ABCDと四角形EFGHが合同でなかったり、長方形でなくて、平行四辺形だったり、台形等だったりすると、計算はできません。
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- ferien
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三角錐AEFPの体積をV1、三角製GEFPの体積をV2とするとき、 >V1:V2を最も簡単な整数の比で表しなさい。 三角錐の体積=(1/3)×底面積×高さ 三角錐AEFPの頂点をF,底面を△APE,三角製GEFPの頂点をF,底面を△GPEと見ると、 2つの立体は高さが共通だから、体積の公式より、体積の比は底面積の比で決まる。 だから、V1:V2=△APE:△GPE △APEは、頂点をE,底辺をAP,△GPEは、頂点をE,底辺をGPと見ると 高さPEが共通しているから、面積の公式から、面積の比は底辺の比で決まる。 だから、△APE:△GPE=AP:GP 以上より、体積比=底面積の比=底辺の比だから、 V1:V2=△APE:△GPE=AP:GP が成り立つ。 だから、体積比を求めるためには、底辺の比AP:GPを求めればいいことになります。 △AEGで、EG^2=10^2-8^2=100-64=36 EG=6 △AEG面積は、(1/2)×AE×EG=(1/2)×8×6=24 底辺をAG=10高さをPEと見ると、面積は (1/2)×10×PE=24 よって、PE=24/5 △APEについて、 AP^2=AE^2-PE^2 =8^2-(24/5)^2 =8^2・4/25 よって、AP=32/5 △GPEについて、 GP^2=GE^2-PE^2 =6^2-(24/5)^2 =6^2・9/25 よって、GP=18/5 これから、V1:V2=AP:GP=32/5:18/5=16:9 よって、V1:V2=16:9 になりました。どうでしょうか?
- gohtraw
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四角錐GEFPは四角錐AEFGから四角錐AEFPを切り取ったものです。従ってAFEGとGEFPの体積比が判ればAEFPとGEFPの比もわかります。 AEFGとGEFPは底面EFGを共有しているので、高さの比が判れば体積比も判ります。高さの比は AGの長さ:PGの長さ とひとしくなります。ここで△AEGと△PEGは互いに相似な直角三角形であり、三平方の定理よりEGの長さは6、PGの長さは6*6/10=3.6です。
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