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中学 解説
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AO^2=(2^2)+(4^2)=20 BO^2=(3^2)+(9^2)=90 AB^2=(5^2)+(5^2)=50 → AB=√50=5√2 ABを底辺とする三角形を考え、点OからABの延長線上に下ろした 垂線の足をPとすると、求める体積は、OPを半径とする高さBPの 円錐の体積からOPを半径とする高さAPの円錐の体積を引いた体積 になるので、まずOPとAPを計算する。 OP^2+AP^2=AO^2=20 → OP^2+AP^2=20・・・(ア) OP^2+BP^2=OP^2+(AB+AP)^2=OP^2+(√(50)+AP)^2=BO^2=90 → OP^2+(√(50)+AP)^2=90・・・(イ) (イ)の両辺から対応する(ア)の両辺を引いて -AP^2+(√(50)+AP)^2=70 -AP^2+50+2AP√(50)+AP^2=70 2AP√(50)=20 → AP=10/√(50) → AP=√2 → AP^2=2 (ア)に代入してOP^2=20-AP^2=20-2=18 OPを半径とする高さBPの円錐の体積=(1/3)π(OP^2)BP =(1/3)π(18)(AB+AP)=6π((5√2)+√2)=(36√2)π・・・(ウ) OPを半径とする高さAPの円錐の体積=(1/3)π(OP^2)AP =(1/3)π(18)√2=(6√2)π・・・(エ) よって求める体積=(36√2)πー(6√2)π=(30√2)π となる。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
中学生ですか。 積分を使えば楽だけど、使えないなあ。 O から AB に垂線を降ろすか、 余弦定理で cos∠OAB を求めるかすれば、 円錐と円錐を足す問題なのか、 円錐から円錐を引く問題なのかが判りますね。 そこから先は、ビタゴラスの定理と 算数の体積計算です。
お礼
回答有難うございました。
- yoshi20a
- ベストアンサー率20% (470/2291)
まず、AとBの座標を求めます。 y=x^2・・・(1) と y=x+6・・・(2) の交点ですから、 x^2=x+6、x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0 → x=-2,3 つまり、図にあるように、A;(-2,4)、B;(3,9)です。 次に、原点Oとy=x+6とのキョリaを求めます。 原点Oを通るy=x+6に垂直な直線は、y=-x・・・(3)ですから、(2)と(3)より、その交点Cは、 x+6=-x → 2x=-6 → x=-3、つまり、(-3,3)。 つまる、OC^2=a^2=18・・・(4) 求める立体の体積は、y=x+6周りに△COBを回したものから△COBを回したものを引いて求められます。 CA=1, CB=√61ですので、 a^2π(√61-1)/3=18π(√61-1)/3・・・(解) 計算が間違ってたらゴメンナサイ。
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お礼
分かりやすい回答有難うございました。