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求積問題(条件・重積分により求める)
info22_の回答
- info22_
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#1です。 A#1の補足の質問について >(2)の円柱はx^2+y^2<=4でした。 そうなら、共通部分の体積は、形状がz軸について回転対称なので 回転体の体積公式を使えば、xy座標平面について対称である事から V=2{π∫[0,√5] 4dz+π∫[√5,3] (9-z^2)dz} =2π{4√5+[9z-(1/3)z^3] [√5,3]} =2π{4√5+9(3-√5)-(1/3)(27-5√5)} =4(27-5√5)π/3 と求まる。 重積分で計算するなら V=2∬[D} √(9-x^2-y^2)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2<=4} x=rcos(t),y=rsin(t),(0<=r<=2,0<=t<=2π)と変数変換すると D'={(r,θ)|0<=r<=2,0<=t<=2π} √(9-x^2-y^2)dxdy=√(9-r^2) rdrdt V=2∬[D'] r√(9-r^2)drdt =2∫[0,2π] dt*∫[0,2] r√(9-r^2)dr =4π[-(1/3)(9-r^2)^(3/2)] [0,2] =4(27-5√5)π/3 と上と同じVの値が得られます。 >あと、お手数ですが(4)のような球面を平面で切り取る問題は V=π∫[1,2] (y^2+z^2)dx, y^2+z^2=4-x^2 とありますが切り取る平面の変数で、その他の変数を微分するのが セオリーなのでしょうか? 微分してませんが、何か勘違いしてませんか? 他の変数は、積分変数に置き換えます。 >また領域はどのように求めたのでしょうか? y=0(xz座標平面)の断面図を描いて考えればわかりませんか? (4)は重積分を使って V =∬[D] {√(4-y^2-z^2)-1}dydz, D={(y,z)|y^2+z^2<=3} y=rcos(t),z=rsin(t)とおけば D'={(r,t)|0<=r<=√3,0<=t<=2π} V =∬[D'] (√(4-r^2)-1) rdrdt =∫[0,2π] dt*∫[0,√3] r((4-r^2)^(1/2)-1)dr =2π[-(1/3)(4-r^2)^(3/2)-(1/2)r^2] [0,√3] =5π/3 と計算もできます。 A#1の(4)と同じVの値となっています。 体積の積分計算の方法は1通りと限りません。どの方法でもいいので、1つの方法で確実に体積Vの計算ができるようにしておくことが大切です。
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