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求積問題(条件・重積分により求める)
info22_の回答
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(1) V=∬[D] (4-x^2-y^2)dxdy,積分領域D={(x,y)|x^2+y^2≦4} x=rcos(t),y=rsin(t)で変数変換 D'={(r,t)|0≦r≦2,0≦t≦2π} (4-x^2-y^2)dxdy=(4-r^2)rdrdt V=∬[D'] (4-r2) rdrdt =∫[0,2π] dt*∫[0,2] (4r-r^3)dr =2π[2r^2 -(1/4)r^4] [0,2] =2π(8-4)=8π (2) 球x^2+y^2+z^2<=9 が円柱x^2+y^2<=9 に包含されるので 共通部分は球x^2+y^2+z^2<=9全体。 なので球の体積は積分するまでもなく、半径r=3の球の体積 V=(4/3)π*2^3=32π/3 (3) 円柱x^2+y^2<=a^2(a>0)のxy平面の上方、平面z=xの下方にある部分の体積 V=∬[D] xdxdy,積分領域D={(x,y)|0<=z<=x,x^2+y^2≦a^2} x=rcos(t),y=rsin(t)で変数変換 D'={(r,t)|0≦r≦a,-π/2≦t≦π/2} xdxdy=rcos(t)*rdrdt=(r^2)cos(t)drdt V=∬[D'] (r^2)cos(t)drdt =∫[-π/2,π/2] cos(t)dt*∫[0,a] (r^2)dr =2{[sin(t)] [0,π/2]}*{[(1/3)r^3] [0,a]} =2(a^3)/3=(2/3)a^3 (4) 球x^2+y^2+z^2<=4を平面x=1で切り取ったとき、x>=1の部分の体積 V=π∫[1,2] (y^2+z^2)dx, y^2+z^2=4-x^2 =π∫[1,2] (4-x^2)dx =π[4x-(1/3)x^3] [1,2] =π{4-(1/3)(8-1)} =5π/3
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