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2重積分
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半径aの球の上半分の体積Vは 半径aの球の体積(4/3)πa^3の(1/2)であるから V=(4/3)πa^3 ×(1/2)=(2/3)πa^3 となりますが、 2重積分を用いて体積を求めたいなら V=∫∫[D] zdxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2},z=√(a^2-x^2-y^2) =∫∫[D] √(a^2-x^2-y^2)dxdy x=rcos(t),y=rsin(t)と置換積分すると D⇒E={(r,t)|0≦r≦a,-π≦t≦π} √(a^2-x^2-y^2)dxdy=√(a^2-r^2) rdrdt より V=∫∫[E] (a^2-r^2)^(1/2) rdrdt =∫[-π,π]dt∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr =2π∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr =2π[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,a] =2π{(1/3)a^3 =(2/3)πa^2 と体積を計算できます。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
No.2です。 ANo.2の補足の質問の回答 >なぜ、-π≦t≦πとなるのですか? x=rcos(t),y=rsin(t)のとき 直交座標(x,y)平面の領域 D={(x,y)|x^2+y^2≦a^2} と極座標(r,t)平面の領域 E={(r,t)|0≦r≦a,-π≦t≦π} は同じ領域を表している、つまり 原点を中心とする半径aの円(円周及び円内領域)を表しています。 DとEは座標系の違いだけで、同じ領域を表す(同値)別表現ですね。 この場合極座標表現の角度θ(ここではt)の範囲は、-π≦t≦πでも0≦t≦2πでも構いません。 両者とも同じ領域を表します。 なお領域Eが原点を中心とする半径aの円(円周と円の内部)を表すことが分からなければ、教科書の極座標のところを復習してみるといいでしょう。
お礼
詳しい解説ありがとうございます。 わかりました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
半径 a の球の (上) 半分だから (4/3)πa^3 ÷ 2 = (2/3)πa^3.
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お礼
返信が遅くなり、すみません。 なぜ、-π≦t≦πとなるのですか?