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2重積分
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>4面体の面積を求めよ 4面体の体積ではないですか? そうであれば D={(x,y)|x≧0,y≧0,y≦2-2x} 体積=∬[D] zdxdy =∫[0,1] dx∫[0→2-2x] (2-2x-y) dy =∫[0,1] [(2-2x)y-(1/2)y^2][0→2-2x]}dx =∫[0,1] {(2-2x)^2-(1/2)(2-2x)^2}dx =∫[0,1] 2(x-1)^2 dx =[(2/3)(x-1)^3][0,1] =2/3
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- shuu_01
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僕は学校を卒業して何年もたっており、数学の知識の大部分が どっかに蒸発しており、「2重積分」って聞いただけで、 なんだったけ~?? 状態で、 No.2 さんの D ってのも、なんじゃこりゃ~?? 状態でしたが、 No.2 さんの答えを見つめてると、なんかわかって来ました No.2 さん、ありがとう その前に、問題を視覚的に把握しておく必要があります 今回の4面体の面積は 4 + √6 でないかな? (検算してないけど) 体積は 2/3 なので、No.2 さんもおっしゃってるように 「4面体の体積を求めよ」って問題ですよね 面積を出す時、xy 座標で 高さ y を x で積分すると 面積を求めることができました それと同様に 面積を積分すると、体積を求められます 問題の四面体をまず xya 軸のグラフに描くと、 原点 (0,0,0)、x 軸上の (1,0,0)、y 軸上の (0,2,0)、 z 軸上の(0,0,2)の4点であることがわかります x で積分して、体積を出すには x 軸に垂直な面の面積を求めれば良いです z ≧ 0 ですので、2-2x-y ≧ 0 したがって y ≦ 2 - 2 x y について 0 から 2 -2x の範囲で z を積分すると、 面積 S が出ます (1) S = ∫[0→2-2x] z dy = ∫[0→2- 2x] (2- 2x- y) dy = ∫[0→2- 2x] {(2- 2x)- y)}dy = [(2- 2x)y - (1/2) y^2] [0→2- 2x] = (2- 2x)^2 - (1/2) (2- 2x)^2 = 2 (1- x)^2 この面積を x について 0 から 1 の範囲で 積分すると、 体積 V が出ます (2) V = ∫[0→1] S dx = ∫[0→1] 2 (1- x)^2 dx = ∫[0→1] 2 (x- 1)^2 dx = [ 2/3 (x- 1)^3] [0→1] = 0 -(-2/3)= 2/3 と答えが出ます (1)と (2) を一緒にしちゃったのが、2重積分で No.2 さんの回答になります
- Tacosan
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その平面の切片方程式を考えれば容易にわかるが (1/6)×1×2×2 = 2/3.
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お礼
わかりました。ありがとうございます。