重積分

質問

x^2 + y^2 ≦　z 　　　 x + y + z ≦ a 　　　 (a>0)

で囲まれる体積を求めたいのですが、始めて見る形式でどうやればよいか手がつけられなくて困っています（ちなみに教科書の問題なのですが、略解なのでやり方がまったく乗ってません・・・）

いままでは　１つの関係式にしか zが入っていなかったのでそれを

∬ｚdxdy

とやってとけていたのですが、今回Zが２つの関係式に入っていて、どれをどーすればよいか困惑しています。
しかも
x^2 + y^2 ≦　z　　　と　　　　x + y + z ≦ a

のだいたいの形がみえてきません。
ここれへんは図形的センスがないのかもしれませんが；；

どうやっててをつけていけばよいかでもいいのできっかけを教えてくださると幸いです＾＾；

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

再び＃１ですが，体積の「素直な」求め方は理解してもらえたことと思います．
さて，やってみると分かるように，一般的方法，教育的段階という意味では確かにこれまでアドバイスしたor＃２さんのご説明のあったような方針は経験して学ぶ必要があります．
しかし，いずれにしてもそれなりには手数がかかります．
もっとうまい手はないのでしょうか．
もうそろそろよい頃でしょうから，今後のご参考にあらすじを紹介しておきます．

回転放物面：x^2 + y^2 ＝z　・・・（１）
平面：　x + y + z ＝a (a＞0)・・・(２)

この両者で囲まれる部分の体積を求めたいわけです．
平面：　x + y + z ＝t ・・・（３）
と（１）とは，t≧-1/2 のときのみ共有点が存在します(t＝-1/2のとき接する)．
このことは，（１）+（３）によりｚを消去して
[０≦](x+1/2)^2 +(y+1/2)^2＝t+1/2　・・・（４）
から分かります．
すると，-1/2≦t≦a の部分の体積を求めるのが目標です．

（４）は（１）を（３）で切断した切り口の図形をxy平面に正射影したものが，半径√(t+1/2)，面積π(t+1/2)　の円だという事実・・・(＊)を表し，xy平面と平面（３）とのなす角をθとすると，それぞれの法線ベクトル(0,0,1)と(1,1,1)のなす角と一致し，cosθ＝1／√3 です．
すると（＊）から逆算すると，（１）を（３）で切断した切り口は
面積S(t)＝π(t+1/2)／cosθ＝(√3)π(t+1/2)　の楕円であり，

２平面　x + y + z ＝t と　x + y + z ＝t+dt　との距離(厚み)は，（点と平面の距離公式から）　dt/√3　より，

体積　V＝∫_{t＝-1/2～a}S(t)dt/√3＝∫_{t＝-1/2～a}π(t+1/2)dt＝(π／2)(a+1/2)^2　・・・(答)

何か不備があればお気づきの方はなにとぞご指摘下さい．

お礼

何回も解答、アドバイスしてくださりありがとうございました＾＾
勝手ながらこの回答にお礼はまとめさせていただきます＞＜
とてもわかりやすかったです＾＾
なんとなく計算の手順がみえてきました！
またよろしくおねがいします＾＾

回答No.5

nakaizu

難しく考えることはありません。x^2+y^2≦z≦a-x-yですので
∬(a-x-y-x^2-y^2)dxdy
を計算すればよいのです。積分範囲はx^2+y^2=zとx+y+z=aの交線の内側で
二つの式からzを消去すると求められます。

お礼

おぉ、やってみたら簡単にできました＾＾ありがとうございます！

回答No.3

oshiete_goo

＃１です．
立体としての状況把握は＃２さんのアドバイスもあって理解できたと思います．

さて，実際の求積ですが，これは平凡にz=tでやろうとすると失敗した可能性が高いです．（一度は失敗をしておく必要があるので．）
これはz=tで単純に切ると，一般には円を直線で切った弓形が出て来て，中心角がきれいでない扇形の面積は逆三角関数を使わないと表現できないことからして，
平凡に求めようとすると，別の手（別の切り方）を考えなくてはならないわけです．(力で押し切れる＃２さんなどは別でしょうが．)
ここに早く気づいて欲しいのです．原理的に分かりやすい方法と実用的な方法は必ずしも一致しません．

体積を求めるだけが目的なら，２度目からははじめから次の方針を選べるように目を鍛えておいて下さい．
具体的可能性としては，平面ｙ＝u（uを固定）で切って，xz平面に平行な断面の図を書いて断面積S(u)を出す，これは放物線と直線しか出てこないので，求められるはずです．あとはuの変域に注意してuで積分．
他にも，x+y＝uで切っていくなどというのもありそうですね．
では健闘を期待します．

回答No.2

stomachman

まず図形としてどう見れば良いかについて。
[1] x^2 + y^2 ≦　z
において、まずzが定数だと考える。つまりz=一定、の平面で切った断面を考える。そうすると、これって円盤ですよね。√zが円盤の半径を与えています。（だからz＜0のときは円盤はない。）
同じ式を今度はx,z平面（つまりy=0の平面）で考えますと、
x^2≦z
ということになっている。つまりx^2 + y^2 ≦　zという式は
z=x^2
のグラフをz軸を中心として回転させた回転体、その内側を表しているわけですね。イメージ出来たでしょうか。

[2] 次に
x + y + z ≦ a 　　　 (a>0)
ってなにかと言えば、平面
x + y + z =a
でもってx,y,zの空間をばっさり切ったときの、空間の半分（a>0の側、つまり(0,0,0)を含む側）を表している。で、この平面は(x,y,z)＝(a,0,0)を通りますし、(0,a,0), (0,0,a)も通る。イメージ湧きました？
これら二つの立体領域の共通部分が、求めようとする体積の領域です。

さて、体積の求め方を考えてみましょう。
回転体の体積ってのは結局、「回転軸zに垂直に薄切りを作ったら円盤になるんだから、(各zにおける円盤の面積S(z)×薄切りの厚みdz）の総和を取って計算すれば良い」訳です。だから
∫S(z) dz
　でもこの問題では、[1]の回転体のさきっちょ（(0,0,0)に近いあたり）は薄切りが完全な円盤になりますけど、zが大きくなると円盤が欠ける。直線で切り取られてしまうのです。たとえば
z=a
における薄切りは半径√aの円を丁度半分にした半円になってる。
だからと言って困ることは何もない。zを定数と思ったとき
x^2 + y^2 =z　（円盤の縁）
x + y + z =a　（切り取る直線）
の両者の（二つの）交点(x,y)を見つければ、どんな切り取られ方をするか分かりますね。だから面積S(z)もわかる。そして（各zにおける円盤もしくは欠けた円盤の面積S(z) ×切りの厚みdz）の総和を取れば良い。
∫S(z) dz
であることに変わりはありません。

お礼

めっちゃ分かりやすいです！
図のイメージもつかむこともできました＾＾
ありがとうございます。

回答No.1

oshiete_goo

x,yについては対称で，zだけ特殊なので，
平面ｚ＝ｔで切って考えると，
ｔ≧０　のときのみ立体は存在して，
x^2 + y^2 ≦t　と　　x + y ≦ a－t
の共通部分について調べれば良さそう．
ｔの範囲はいくらまで考えればよいでしょう？