円盤上の二点の軌跡

質問

こんにちは、基本的な問題であるからなのか、解法が載っていませんでした。
どうか教えていただければと思います。

回転している円盤上に二つの点、A、Bが固定されています。
Aを基準点としたときのBの軌跡を描きなさい

というものです。何となく解答は分かるのですが、恥ずかしながら、どう求めて良いのか、
引き出せずにおります。基礎的な問題と思われますが、どうかお力添え頂ければと思います。

どうぞよろしくお願い致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

複素数表示の実部がベクトル表示の x座標に、虚部が y座標に相当します。
三角関数の加法定理を使って、
x座標 ＝ R2 cos(wt - α) - R1 cos(wt)
＝ R2 (cos(wt) cosα + sin(wt) sinα) - R1 cos(wt)
＝ (R2 cosα - R1) cos(wt) + (R2 sinα) sin(wt),
y座標 ＝ R2 sin(wt - α) - R1 sin(wt)
＝ R2 (sin(wt) cosα - cos(wt) sinα) - R1 sin(wt)
＝ - (R2 sinα) cos(wt) + (R2 cosα - R1) sin(wt)
と変形できますから、
R3 = √{ (R2 cosα - R1)^2 + (R2 sinα)^2 }
と置けば、三角関数の合成によって、
x座標 ＝ R3 cos(wt - β),
y座標 ＝ R3 sin(wt - β)
と書けるのです。β は、
cosβ ＝ (R2 cosα - R1) / R3,
sinβ = (R2 sinα) / R3
であるような実数です。
以上を A No.3 と見比べると、
複素数を使えば計算が簡単になることが解かるでしょう。

お礼

回答下さりありがとう御座います。
一つ疑問がありまして、どうかお答え頂けるととても助かります。

頂きました回答について、最初から、次の
『R3 = √{ (R2 cosα - R1)^2 + (R2 sinα)^2 }
と置けば、三角関数の合成によって、
x座標 ＝ R3 cos(wt - β),
y座標 ＝ R3 sin(wt - β)
と書けるのです』
までは、理解しました。しかし、

『β は、
cosβ ＝ (R2 cosα - R1) / R3,
sinβ = (R2 sinα) / R3
であるような実数』

とありますが、この二つの式を両方満足するβが必ずあるという
保障はどう説明できますでしょうか・・・。

確かに、
x座標 = R3 cos(wt - β)
とすれば、これを加法定理で展開し、
R3 = √{ (R2 cosα - R1)^2 + (R2 sinα)^2 }
を導くことはできます。しかし、これは、あくまでβが確実に求まる
という前提ではないでしょうか。

続けての質問で、申し訳ないのですが、真剣になやんでおりまして、
どうかご回答の程、どうぞよろしくお願い申し上げます。

回答No.5

alice_44

(cos β)2乗 + (sin β)2乗 = 1 によって、
そのような β が存在することは保証されます。
というか、そうなるように R3 を選んだのです。

A No.4 の
cos β = …,
sin β = …
という式は、二式あるようでいて、実は、
一方が成立していると、他方は符号だけしか
決めていないのです。

A No.3 の複素計算なら、そもそも
この追加質問は生じないのですが。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

複素平面でやると、少し楽。
α = (r1)exp(i(ωt+δ1)),
β = (r2)exp(i(ωt+δ2))
と置くと、挿絵から
r1 ≠ r2,
δ1 ≠ δ2
が読み取れる。よって、
β - α = ((r2)exp(iδ2) - (r1)exp(iδ1)) exp(iωt)
の軌跡は円。その半径は
｜(r2)exp(iδ2) - (r1)exp(iδ1)｜

お礼

alice_44様、

すみません、複素平面を理解しておらず、せっかく頂いた解法を理解できずにおります。
もしよろしければ、解答者様#1、#2の方にお送りした補足の欄をご覧頂き、アドバイスいただけないかと思っております。どうか宜しくお願いします。

回答No.2

WiredLogic

初期設定も何もなしですか？
すると、計算とかしなくても、作図で求まるような話になるんでしょうね。
それ前提に考えてみると…、

えっと、ABの距離は円板が回転してもずっと同じ、
ABの向きは、円板が回転すると、あらゆる方向を向いて、
円板が360度回ったとき、元の向きに戻る。
こりゃ、半径ABの円しかありませんね。
ABが向き変える速さも、OA,OBが一定の速さで回るので、やはり、一定。

Aから見ると、円板が一周する間に、Bは一定の速さで、Aを中心とした、
半径ABの円上を、１周グルッと回るように見える、
つまり、Aから見たBの軌跡は半径ABの円、これで決まりのようです。

確認のために、計算もしてみようと、思っていたのですが、
念のため、もう一度、質問を覗いたら、#1さんが計算してくれていました^^

お礼

とてもイメージのし易い回答を下さいましてありがとう御座います。
実際に計算でしめしたいのですが、#1様の解答方法が私の中で最後までクリアでなく、
WiredLogic様にもお教え頂けたらと思っております。以下、写しで恐縮ですが、
どうか宜しくお願いします。

---------写し---------------------

X成分だけを考えてみますと、
単純に、
R1 x cos (wt) - R2 x cos (wt -α)となりますが、

ここから最終的に、どうやって、
R3 x cos (wt -β)
と言う形に持っていくのかがわかりません。
cosについている係数が、R1、R2と違いますが、どう加法定理で
解法されるのか、申し訳御座いませんが、お教えいただけないでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.1

NNori

Aの軌跡は、( R1 × cos( wt ) , R1 × sin(wt) )
Bの軌跡は、( R2 × cos( wt - α ）, R2 × sin( wt - α ) )

Aから見た Bの軌跡は B - A　なので...

ま、要するに この式を三角関数の加法定理を使って整理すると
（R3 × cos( wt - β ）, R3 × sin( wt - β ））
という形になるハズです。

というわけで、円になるハズです。

お礼

回答頂きましてありがとう御座います。
途中計算が分からず、どうかお教え下さい。

X成分だけを考えてみますと、
単純に、
R1 x cos (wt) - R2 x cos (wt -α)となりますが、

ここから最終的に、どうやって、
R3 x cos (wt -β)
と言う形に持っていくのかがわかりません。
cosについている係数が、R1、R2と違いますが、どう加法定理で
解法されるのか、申し訳御座いませんが、お教えいただけないでしょうか。

宜しくお願い致します。

補足

R1 x cos (wt) - R2 x cos (wt -α)
をこれだけで
R3 x cos (wt -β)

の形にすることはできないのではないでしょうか。

ここは条件として「AB距離は一定」ということから

AB^2 = 一定
= ｛R1 x cos (wt) - R2 x cos (wt -α)｝^2 + ｛R1 x sin (wt) - R2 x sin (wt -α)｝^2

を何とか使うのではないかと思っておりますがどうでしょうか。
ただ、計算がとても煩雑で、参っております。
いかがでしょうか。