複素積分の問題です

質問

原点を中心とする半径２の円周上反時計回りに回る曲線に沿って1/{(z^n)-1}を求めよという問題で。n=1のときは2πiでその他では０と予想したのですが、nが３以上の場合の計算方法がわかりません。よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

f(z)=1/{(z^n)-1}
とすると
(z^n)-1=0となるzは
[e^{i2πk/n}]_{k=1～n}
で|z|=1<2
だから
∫_{|z|=2}f(z)dz
=2πiΣ_{k=1～n}Res(f(z),e^{i2πk/n})

Res(f(z),e^{i2πk/n})
=lim_{z→e^{i2πk/n}}(z-e^{i2πk/n})f(z)
=lim_{z→e^{i2πk/n}}[1/{Σ_{j=1～n}(e^{i2πk(j-1)/n})(z^{n-j})}]
={1/(ne^{i2πk(n-1)/n})
=(1/n)e^{-i2πk(n-1)/n}
=(1/n)e^{i2πk/n}

∫_{|z|=2}f(z)dz
=2πiΣ_{k=1～n}(1/n)e^{i2πk/n}
=2πi(1/n)Σ_{k=1～n}e^{i2πk/n}

{(e^{i2π/n})^n}-1=0
((e^{i2π/n})-1)Σ_{k=0～n-1}e^{i2πk/n}=0
n>1のとき(e^{i2π/n})-1≠0だから
Σ_{k=0～n-1}e^{i2πk/n}=0
Σ_{k=1～n}e^{i2πk/n}=0

n>1のとき
∫_{|z|=2}f(z)dz
=2πi(1/n)Σ_{k=1～n}e^{i2πk/n}
=0