導関数の問題です

質問

lim [ {（a√ｘ）＋ｂｘ＋４}/(x-4)^2] = c

（limは、x→4 です）

が成り立つa,b,cを求めよ。

上記問題で、そのままだと分母がゼロになってしまうので、
因数分解して約分が必要なのかと思うのですが、
どう考えてもわかりません。

約分しても、変数が３つは求められないような…？

よろしくおねがいします！

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

収束するから　x→4 の時　「0/0型」でなければならない。
　{(a√x）+bx+4}|(x→4)=2a+4b+4=0
　a+2b+2=0 ∴a=-2(b+1) …(1)
与式 L=lim(x→4) {-2(b+1)(√x)＋bx+4}/(x-4)^2
分子の有理化をすると
L=lim(x→4) {-4x(b+1)^2＋(bx+4)^2}/[{(x-4)^2}{2(b+1)(√x)＋bx+4}]
=lim(x→4) (xb^2 -4)(x-4)/[{(x-4)^2}{2(b+1)(√x)＋bx+4}]
=lim(x→4) (xb^2 -4)/[(x-4){2(b+1)(√x)＋bx+4}] …(2)
収束するから　x→4 の時　「0/0型」でなければならない。
(xb^2 -4)|(x→4)=4b^2-4=4(b-1)(b+1)=0 ∴b=±1 …(3)

b=1の時 (1)より　a=-4
(2)より
L=lim(x→4) (x-4)/[(x-4){4(√x)＋x+4}]
=lim(x→4) 1/{4(√x)＋x+4}=1/(8+4+4)=1/16=c
∴(a,b,c)=(-4,1,1/16) …(4)

b=-1の時 (1)より a=0
(2)より
L=lim(x→4) (x-4)/{(x-4)(-x+4)}
=lim(x→4) 1/(-x+4)
=発散（極限値存在しない）
この場合は収束しない。∴b≠-1

以上をまとめると(4)の(a,b,c)=(-4,1,1/16)が答え。

お礼

詳しい説明、ありがとうございました！
とっても、助かりました。

回答No.3

Tacosan

たぶん勘違いだと思います＞#1 し「普通に(a√x)がa*√xの意味」であっても求めることはできます＞#2.

ロピタルを使っていいなら単純だけど, むしろロピタルは無視して適当に変数を置換した方が簡単かも.

回答No.2

hrsmmhr

普通に(a√x)がa*√xの意味なら、無理です。

(a√x)がx^(1/a)と意味ならa=1/2としたらまだ考えようがありますが…

回答No.1

mister_moonlight

cが有限確定値ならば、問題が(分母の次数が)違ってないか？

それとも、私の勘違いかな？