数学 3次関数の極大値の問題

質問

aを正の定数とする。3次関数 f(x)=x^3-2ax^2+a^2x の 0≦x≦1 における最大値 M(a) を求めよ

という問題で
解説の途中で
x^3-2ax^2+a^2x-4/27a^3=0
が(x-a/3)^2(x-4/3a)=0
というふうに因数分解されていたのですがどのようにして因数分解したのでしょうか?

上記の因数分解について
曲線y=f(x)と直線y=4/27a^3はx=a/3において接するから
f(x)-4／27a^3は(x-a/3)^2で割り切れるらしいのですがよくわかりません。
(x-a/3)^2の2乗がなぜ2乗なのかがわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

x^3-2ax^2+a^2x-4/27a^3=0　

こんな計算が必要になる理由がわからないのですが因数分解したければたとえばb=a/3とおいて

上の式は

x^3-6bx^2+9b^2x-4b^3=0

x=bを入れると０になるので(x-b)という項を持つことがわかります。x-bで割り算して

x^3-6bx^2+9b^2x-4b^3＝(x-b)(x^2-5bx+4b^2)=(x-b)^2(x-4b)

はすぐわかるでしょう。あとはb=a/3に戻すだけです。

ともあれもっと自然にやりましょう。

元の式は

f(x)=x^3-2ax^2+a^2x =x(x-a)^2

f'(x)=3x^2-4ax+a^2=3(x-a)(x-a/3)

増減表を書いてy=f(x)のグラフを描けば答えは自明です。

お礼

わかりました。ありがとうございました