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i=√（（+１）×（-１））＝（+１）,（-１)
stomachmanの回答
- stomachman
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「と」のほかに「tie」とか「、」とか「,」とかいろいろ飛び交っていますが、ま、何にせよ、そういう演算なり公理系なりを思いついたきっかけが計算間違いであれ、感性であれ、天啓であれ、そんなことは全く関係ない。ただ、その性質だけに注目すれば良い。この事は前のスレで説明しました。 さて、どうやら、 aが実数であるとき、X^2 = -(a^2) の解を (a と -a) と書くのだ ということのようで、こっちがどうも根幹らしい。（だとすると、「同方向」だの「傾く」だのの話は、上記で言う「全く関係ない」部分ということであり、なので無視しましょう。） さらに、"(A と -B)"という表記に出てくる"A", "B"はいつもA=Bであって、つまり"(aと-a)"という形しかない、ということのようです。ですが、だったら二度も同じaを書く必要はないんで、これを略して a? とでも書く事にしましょう。 （つまり、a? は (a と -a) と全く同じものである、という定義を入れたのです。この方が短く書けて扱いやすいから、というだけの形式上のことであって、お気に召さなければいつでもa? を (a と -a)に戻してお考えになれば良い。） さて本題です。 まず、方程式X^2 = -(a^2)が実数解を持つのはa=0の場合だけである。だから、a≠0のときに考えられる解X=a?というものがあったとすると、それは実数ではありえない。つまり、a≠0のとき解Xは実数ではない。 ところが、実数ではないものXにおけるかけ算というものが、まだ定義されていません。すると、「X^2」という部分の意味も定義されていないことになり、従って「X^2」が何のことだか意味不明である。つまり、「aが実数であるとき、X^2 = -(a^2) の解を (a と -a) と書くのだ」という文言は、実は(a=0の場合を除いて）意味を持っていないんです。 それじゃ話が全く進みませんから、実数ではないものXのかけ算を導入せねばならない。これを（実数のかけ算×とは区別しなくてはならないので）※と書く事にします。 すると、Xが何者で※はどんな演算なのかが未定であるけれども、ともあれそれらは 公理1: aが実数のとき、X※X = -(a^2) は解を持つ という性質を持っているのでなくてはならない。これを認めた上で、 定義１： aが実数のとき、X※X = -(a^2) の解を (a と -a) あるいはa? と書く と定義することにすれば、ようやく多少の意味が出てきます。「多少」というのは、ここまでの話だけから以下は言える、ってことです： [定理1] aが実数のとき、(a?)※(a?) = -(a^2) pf) 定義そのもの。QED 特に、(0?)※(0?)=0である。（しかし 0?=0であるかどうかは決まりません。） [定理2] aが実数のとき、(-a)? = a? pf) ((-a)?)※((-a)?)= -((-a)^2)である。右辺は-((-a)^2)=-(a^2)であるから、 ((-a)?)※((-a)?)=-(a^2) 従って、 (-a)?はX※X = -(a^2) の解、すなわちa?である。QED これは(aと－a）=(－aとa）であるということです。だから、a?は確かにia (iは虚数単位)とは違う。（ほかの回答者の方々は「そりゃ、a? = ±ia ={-ia, ia}ってことだよ」というツッコミを入れたくなるでしょうけれど、それはナシです。「実数ではないX」の集合を、複素数体とはひとまず無縁のものとして、その性質から探ろうという話なので。） [定理3]a, bが実数のとき、((a×b)?)※((a×b)?) = (b^2)×((a?)※(a?)) pf) (b^2)×((a?)※(a?)) = (b^2)×(-(a^2)) = -((a×b)^2)である。QED [定理4]a, bが実数のとき、((a+b)?)※((a+b)?) = ((a?)※(a?))+((b?)※(b?))-2×a×b pf) ((a+b)?)※((a+b)?)=-((a+b)^2) = -(a^2)-(b^2)-2×a×b =((a?)※(a?))+((b?)※(b?))-2×a×b QED ま、この程度のことしか出てきません。 しかし、ともあれ、「発展形なんか考えない」ということをおっしゃっている。これが質問者氏のご意向であるならば、以上で話はおしまいです。 この先を発展させて面白い（有用な、とは言いませんが、せめて有意義な）定理を見いだして行くにはもっと公理が必要です。すなわち、 X≠YのときのX※Yだとか、X※YのXが実数の場合、Yが実数の場合、両方とも実数の場合、について何も決まっていませんし、ましてこの「実数でないもの」の上での加法（"X田Y"とでも書きましょうか）についてはまるで何も決まっていない。こういうことを決めて※や田や?の性質をもっとはっきりさせないと前に進めません。 さて、多くの回答へのコメントには、以上の公理と定義からは到底出てこないような公式も書かれているようです。おそらく、それらは暗黙のうちに（つまり、はっきりことわりもせずに）公理を導入した（か、あるいは×と※などを不注意に混同した）結果だろうと思われます。つまり、質問者氏はひどく不備なやりかたではあるけれども既に「発展形」を、自分で始めちゃっている。 そこに現れた不備を整理してやろうという親切この上ない回答者諸氏に向かってですね、「発展形なんか考えない」だなんてあからさまに自己矛盾したことを言い放っちゃ、そりゃ酷いよなー。
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補足
＞その性質だけに注目すれば良い。この事は前のスレで説明しました＞ 否まったくその通りです。 ＞aが実数であるとき、X^2 = -(a^2) の解を (a と -a) と書くのだ ということのようで、こっちがどうも根幹らしい その通りです。 ＞"A", "B"はいつもA=Bであって、つまり"(aと-a)"という形しかない、ということのようです。 そういうことです。 ＞複素数体とはひとまず無縁のものとして、その性質から探ろうという話 その通りです。 ＞つまり、質問者氏はひどく不備なやりかたではあるけれども既に「発展形」を、自分で始めちゃっている。 そこに現れた不備を整理してやろうという親切この上ない回答者諸氏に向かってですね、「発展形なんか考えない」だなんてあからさまに自己矛盾したことを言い放っちゃ、そりゃ酷いよなー＞ もともと考えてなかったんですよ。それを分かる範囲で説明したわけで、それにまた発展系を求めてるので「それは無理ですよ」と言っているわけです。どちらかと言いますと私の方が気を使っていると思います。