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質問

△ＡＢＣにおいて,ＡＢ＝６,
ＢＣ＝５,ＣＡ＝４とする。
∠Ｃの二等分線とＡＢの
交点をＤとし,∠Ｂの二等分線とＣＤの交点をＩとする。
さらに,Ｉを通ってＢＣに平行な直線とＡＢの交点をＥとする。

(1)ＢＤの長さを求めよ。
(2)ＩＥの長さを求めよ。
(3)△ＤＩＥの面積は△ＡＢＣの面積の何倍であるか。

考え方を教えてください！お願いします。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

△ＡＢＣにおいて,ＡＢ＝６,
ＢＣ＝５,ＣＡ＝４とする。
∠Ｃの二等分線とＡＢの
交点をＤとし,∠Ｂの二等分線とＣＤの交点をＩとする。
さらに,Ｉを通ってＢＣに平行な直線とＡＢの交点をＥとする。

●一応【図】も付けておきますね＾＾。

(1)ＢＤの長さを求めよ。

●考え方●

・CDは∠Cの二等分線なので…「CA：CB＝AD：BD」という規則があるんですよ。

　→まずは「AD：BD」の比を出してみましょう。

　→AB（＝AD＋BD）の長さは６でしたね、それからBDの長さを求めてみてください。

(2)ＩＥの長さを求めよ。

●考え方●　＊もう一度(1)の考え方を使います。

・BIは∠Bの二等分線なので…今度は「BC：BD＝CI：DI」という規則があるんですよ。

　→まずは「BC：BD」の比を出してみましょう。…この比は「CI：DI」の比でもあるんですよ。

・次に、IEとBCって平行でしたよね、ということは…

　→△DEIと△DBCの関係はどうなっているでしょうね？気付きますか^^？

・これに気付いたなら「IE：BC」の比は…「DI：DC」と同じ比になることに気づいてほしいです。

　→BCの長さは５でしたね、それからIEの長さを求めてみてください。

(3)△ＤＩＥの面積は△ＡＢＣの面積の何倍であるか。

●考え方●　＊これが一番文字だけでは表現しにくいんですが…あわてずに読んでみてくださいね。

・問題文の中にもありましたが…この図形の中で「一番小さな三角形＝元になる三角形＝△DIEの面積をひとまず仮に「1」として考えていきましょう^^A。

　→さっきの(2)の考え方の中の（＊）の部分で…△DEIと△DBCの関係に気付いてくれたなら、今度はその面積比を考えてみましょう。（…面積の比は→？？比の？乗」とかって学んだと思います^^A）

　→次に、△CBDと△CADの面積の関係について考えてみましょう。

　→ちょっとだけ見方を変えると…この二つの三角形は、それぞれの底辺をBD、ADとして見なすと、同じ高さを持った三角形ですね^^A。

　→つまり、底辺の比がそのまま二つの三角形の面積比と言えますね。

　→ここで、まとめると…△DIEの面積＝１とすれば、

　　…△DBCの面積も数値で表すことができたし、

　　…更に、△CADの面積も数値で表すことができたと思います。

　→あとは、元になる三角形の何倍になっているのか？はもうお気づきだと思いますよ^^A。

それでは、あなたの質問内容に「その考え方」のリクエストだったので、あくまでも忠実に「考え方」としてお話ししてきましたが、最後の解答はきっと解けると信じています。頑張ってくださいね^^v。（また姑息な即逃IDの会員さんにしかられるかもw）

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お礼

ありがとうございます！

解けました(^-^)

回答No.1

noname#152422

あなたの学年がわかりませんけれど、もし高校レベルで解いていいなら、ベクトルを使ってD、E、Iの位置ベクトルをCA↑=a↑、CB↑=b↑で表せば機械的に計算できます。

（１）AD:BD=CA:CBという関係を使う。

（２）IE↑がb↑の定数倍であることと、EがAB上にあることを使って方程式を立て、a↑とb↑が独立であることを使って係数についての方程式を導く。

（３）高さが同じ三角形の面積の比は底辺の比に等しいことを使い、△DIEと△DIBの面積の比、△DIBと△DCBの面積の比、△DCBと△ACBの面積の比を計算する。

お礼

ありがとうございます！
助かりました(^-^)