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【量子力学】固有値・固有関数の問題

「量子力学」の試験で次のような問題が出て、復習しているのですが導出過程と解答が分かりません。 お手数をおかけしますが、教えていただけないでしょうか。お願いします。 ############################### 問、固有値aとbを持つ物理量演算子をFとし、対応する固有関数をそれぞれA,Bとする。 (1)固有関数Aで表される状態(固有状態)でFを測定すると、どのような測定値がどんな頻度で得られるか。 (2)別の力学系でFの測定をしたところ、その平均値はcであった。この力学系の状態ψをA,Bを用いて表せ。 (3)状態ψにおけるFの分散(ΔF) ^2を求めよ。 ###############################

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noname#154783
noname#154783

(1) 系の状態がFの固有関数Aで表されるということは,この系でのFの測定値が必ずその固有値aとなるということ. Fの測定値は必ずa. 以下,しばしばディラックの記法を使います. 固有関数A,Bに対応するケットを|A>,|B>, 状態ψに対応するケットを|ψ>とします. (2) Fは物理量演算子なのでエルミート演算子であり,エルミート演算子の固有関数は完全系をなす.したがって|ψ>は |ψ> = u|A> + v|B> の形に展開でき,<ψ|ψ> = 1 より |u|^2 + |v|^2 = 1, …[1] <ψ|F|ψ> = c より a|u|^2 + b|v|^2 = c. …[2] [1]と[2]を連立させて,|u|^2,|v|^2について解くと, |u|^2 = (c - b)/(a - b), |v|^2 = (a - c)/(a - b). これ以上,u,vについての情報がないので,適当な位相因子をつけて, u = e^(iα) √{(c - b)/(a - b)}, v = e^(iβ) √{(a - c)/(a - b)} とする. したがって, |ψ> = e^(iα) √{(c - b)/(a - b)} |A> + e^(iβ) √{(a - c)/(a - b)} |B> すなわち ψ = e^(iα) √{(c - b)/(a - b)} A + e^(iβ) √{(a - c)/(a - b)} B. ただし,α,βは任意の実数. (3) (ΔF)^2 = <ψ|(F - c)^2 |ψ> = <ψ|F^2 |ψ> - 2c <ψ|F|ψ> + c^2 <ψ|ψ> = <ψ|F^2 |ψ> - c^2. ところで, F|ψ> = F[e^(iα) √{(c - b)/(a - b)} |A> + e^(iβ) √{(a - c)/(a - b)} |B>] = e^(iα) a√{(c - b)/(a - b)} |A> + e^(iβ) b√{(a - c)/(a - b)} |B>, <ψ|F† = (F|ψ>)† = e^(-iα) a√{(c - b)/(a - b)} <A| + e^(-iβ) b√{(a - c)/(a - b)} <B| なので, <ψ|F^2 |ψ> = <ψ|F† F|ψ> (∵Fはエルミート演算子なのでF = F†) = a^2 (c - b)/(a - b) + b^2 (a - c)/(a - b). したがって, (ΔF)^2 = a^2 (c - b)/(a - b) + b^2 (a - c)/(a - b) - c^2 = (a - c)(c - b). # 計算間違ってたらすみません.考え方は合ってると思います.

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質問者からのお礼

丁寧な解答をありがとうございました! 自分でも計算して、確認してみるようにしみます。

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