二次関数・不等式の問題

質問

(問題)
xの実数係数の方程式ax^2＋2(a-4)x＋5a-8=0が、少なくとも一つの正の解をもつための
ａの範囲を求めよ。

(質問)
(1)「少なくとも」という言葉がでてきたとき、どのように考えればよいですか？

(2)x=0より左の範囲が範囲外とされるのはどうしてですか？

(3)f(0)＞0のとき、a＜0、8/5＜aとできるようですが、このa＜0はどこからでてきたのでしょうか？
f(0)＜0のとき0＜a＜8/5となるのもわかりません。

(問題)
(x－a^2)(x-2a+1)≦0　・・・(1)
x^2-1≧0　・・・(2)
について、次の問いに答えよ。ただし、aは定数とする。

(1)すべての数xが(1)または(2)を満たすように、aの値の範囲を定めよ。
(2)(1)(2)を同時に満たすxは存在しないように、a値の範囲を定めよ。
(3)(1)(2)を同時に満たすxの範囲がb≦x≦-1であるとき、bをaで表せ。
また、bのとりうる値の範囲を求めよ。

（質問）
(1)またまた言葉の捉え方なのですが、「(1)または(2)を満たす」とはどのように考えれば
よいのでしょうか？
「(1)(2)を同時に満たす」とはどのように違うのですか？
解説の数直線の図を見ると、
「(1)または(2)を満たす」とは「(1)(2)を合わせた部分」とあり、これは「(1)(2)を同時に満たす」と
何が違うのかわかりません。

(2)b=2a-1となるのはどうしてですか？

回答No.1

ONEONE

(1)
「少なくとも１つ」というのは今回は正の解が１つor２つなくてはいけない、という条件です。
<1>１つ持つとき<2>２つ持つとき
で場合分けすればよいでしょう。

(2)
y=f(x)のグラフで考えます。解をx＞0の範囲で持つためにはグラフがx＞0でy=0と交わる必要があります。

(3)
f(0)＞0かつ軸＜0のときa＜0でなくてはx軸と交わることができません。
f(0)＜0かつ軸＜0のときa＞0となるのも同じ

f(0)＞0のとき、f(0)＜0のとき
と考えるよりは
[1]a＞0の場合
(i)軸＜0 (ii)軸＞0
[2]a＜0の場合
(i)軸＜0 (ii)軸＞0
で場合分けしたいな。僕の場合は。

(1)
「(1)または(2)を満たす」・・・☆
「(1)(2)を同時に満たす」・・・★
例えば
(1)を0、1、2、3、4、5という集合
(2)を3、4、5、6、7、8という集合
とします。
☆のとき0、1、2、3、4、5、6、7、8、
★のとき3、4、5、
となりますよね。
☆のときはいずれかの条件を満たせばいいわけです。
★のときはいずれの条件も満たさなくてはいけない。

数直線の場合も同じです。

お礼

早々のご回答をありがとうございます。
「(1)または(2)を満たす」・・・☆
「(1)(2)を同時に満たす」・・・★
の例えはわかりやすかったのですが、この問題においては、
どういう風に考えればよいのか、せっかくご回答いただいたものの、
全体的にもわかることはできませんでした。
ですが、もう一度解説とONEONEさんのご回答読んで考えてみます。