積分の問題です

質問

∫(範囲：-∞～∞)1/(x^4+a^4)dx　(aは正の実数)
この問題の解く過程と答えをお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2で留数を求めるところでaをつけ忘れましたので訂正します。

>Res(a(1+i)/√2)=-(1+i)/(4√2)
>Res(a(-1+i)/√2)=(1-i)/(4√2)
>留数定理より
>I=2πi{-(1+i)/(4√2)+(1-i)/(4√2)}=π/√2
Res(a(1+i)/√2)=-(1+i)/((a^3)4√2)
Res(a(-1+i)/√2)=(1-i)/((a^3)4√2)
留数定理より
I=2πi{-(1+i)/(4√2)+(1-i)/(4√2)}/a^3=π/((a^3)√2)

失礼しました。

お礼

複素積分になるとは思いませんでした！
ありがとうございます

回答No.2

info22_

x→zに置き換えて複素積分として積分すると良い。積分経路Cは実軸上を-R→Rにz=Re^(iθ),θ=0→π（上半分の半円）を加えた上半分の半円を反時計回りに一巡する経路ででR→∞とした経路C。
I=∫(-∞～∞) 1/(x^4+a^4)dx
=∫[C} 1/(z^4+a^4) dz]
被積分関数の特異点のうち、積分経路C内のものは
z=a(1+i)/√2とz=a(-1+i)/√2の２つ。
この1位の特異点における留数は
Res(a(1+i)/√2)=-(1+i)/(4√2)
Res(a(-1+i)/√2)=(1-i)/(4√2)
留数定理より
I=2πi{-(1+i)/(4√2)+(1-i)/(4√2)}=π/√2

お礼

脱帽です！

回答No.1

Tacosan

部分分数にばらす.

お礼

複素積分じゃない解答も気になるところです！