二階線形微分方程式について

質問

f"＋f＝xcosx

これを解くと
f＝Ａcosx＋Ｂsinx＋x^2sinx/4＋xcosx/4になるようですが
途中式がわかりません．教えてください．

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

解は
右辺＝0とおいた同次方程式の一般解（★）
と元の非同次方程式の特解（☆）
を加えればいいですね。

(★)の方は
特性方程式
s^2+1=0
の解 s=±iから、オイラーの公式eix = cos(x) + i sin(x)を適用して

f1=c1e^(ix)+c2e^(-ix)=Acosx+Bsinx…(■)
と一般解が得られます。

（☆）の特解の方は
特解はどんな方法を使ってもいいから元の非同次微分方程式を１つ見つければいいです。
左辺のxcosxの形からcosxの成分が含まれるけれどこの項が（★）の一般項に含まれていること。しかもcosxにxを掛けた左辺になっていることを考慮すれば、特解は、
f2=(Cx^2+Dx＋E)cosx+(Fx^2+Gx+H)sinx…(●）
とおけばいいでしょう。後は元の非同次微分方程式に代入して係数を決定してやれば係数C,D,Eが決まりf2が得られます。
C=G=0,D=F=1/4,E=A1,H=A2(A1とB1は任意ですので0とおけばよい）
∴f2=(1/4)xcosx+(1/4)(x^2)sin(x) …(◆)

>f＝Ａcosx＋Ｂsinx＋x^2sinx/4＋xcosx/4になるようですが
途中式がわかりません．教えてください．

元の非同次方程式の一般解fは(■)のf1と(◆)のf2の和として得られます。
途中式は上に書いた通りです。

別の考え方をすれば(●)の式は、(■)の解の定数A,Bに定数A変化法、つまりA=u(x),B=v(x)を適用してやればいいでしょう。そこからu(x),v(x)を求めることもできますね。

回答No.2

Tacosan

無意味にラプラス変換とか.