高１数学Ａの問題です

質問

高校生の息子から出題されてさっぱりで、面子丸つぶれです。教えて下さい。
よろしくお願いします。

ＭＢＱＩＣＢＬＩＣＢの１０文字を１列に並べる。
(1)　並べ方は何通りあるか
(2)　ＭはＱより左に、かつＱはＬより左にあるような並べ方は何通りあるか。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

「さっぱりで、面子丸つぶれ」ということなので、基本的なお話を添えながら回答してみます。

【例】
今、5つの文字A,B,C,C,Cを1列に並べるとします。
C文字が3つ重複しているので、ひとまずこれを区別してC1,C2,C3とします。(→つまりA,B,C1,C2,C3)

初めに並べることができる文字は、5つの内のどれかなので…5通り。
次の第二番目に並べる文字は、残っているはずの4つの内のどれかなので…4通り。
次の第三遍目に並べる文字は、残っているはずの3つの内のどれかなので…3通り。
次の第四番目に並べる文字は、残っているはずの2つの内のどれかなので…2通り。
最後の第五番目に並べる文字は、残っているのが1つなので…1通り。
→つまり、「初めの文字の並べ方5通りに対して、次にくる文字は4通り、その次にくる文字は3通り、その次にくる文字は2通り、その次にくる文字は1通り」と考えて…
●式1●　5×4×3×2×1＝120通り
（→これを高校数学では「（左側下添え字5）P（5右側下添え字）＝5!」と表記していると思います。【図1】参照）

…ところが、実際にC文字が3つ同じですね。ここで、今の120通りの並べ方の中の一つである「A,B,C1,C2,C3」は以下の並べ方と全く同じと考えなければなりませんね。
「A,B,C1,C2,C3」は（A,Bの部分は見にくくなるので、便宜上★印としておきますよ）
「★,C1,C3,C2」と並んだとしても
「★,C2,C1,C3」と並んだとしても
「★,C2,C3,C1」と並んだとしても
「★,C3,C1,C2」と並んだとしても
「★,C3,C2,C1」と並んだとしても
…全く同じ並べ方をしたに過ぎません。つまり、本来なら1通りの並べ方のはずが6通りとして数えてしまっていますね。
この「6通りとして」の部分は、いま上のように具体的に並べてみて言及しましたが、実は3つのC文字だけに絞って次のように考えます。

3つのC文字に区別があるとして、考えるとその3つのC文字の並べ方は…
初めに並べるC文字は、3つの内のどれかなので…3通り。
次に並べるC文字は、残っているはずの2つの内のどれかなので…2通り。
次に並べるC文字は、残っているのが1つなので…1通り。
→つまり、初めのC文字の並べ方3通りに対して、次にくるC文字は2通り、その次にくるC文字は1通り」と考えて…
　●式２●　3×2×1＝6通り
（→これを高校数学では「（左側下添え字3）P（3右側下添え字）＝3!」と表記していると思います。【図2】参照）

…ということで、初めの●式１●の120通り、一つ一つの場面で「6通り」ずつ重複して数えていることになりますね。

従って、最終的な式は次のようになります。
　●式３●　120÷6＝20通り

ここで、ようやく本題に入ります、理屈が多かったけれど…きちんと理論が分かってしまえば簡単ですから。

【本題】ＭＢＱＩＣＢＬＩＣＢの１０文字を１列に並べる。
（１）並べ方は何通りあるか。
・とりあえず、10文字全てが区別できるとして並べる場合を求めると…
●式４●　10×9×8×7×6×5×4×3×2×1　通り
（→これを高校数学では「10P10＝10!」と表記していると思います【図3】参照）
・ところが、実際には…
「3文字は同じB文字」なので…3×2×1 通りだけ重複している。
「2文字は同じI文字」なので…2×1 通りだけ重複している。
「2文字は同じC文字」なので…2×1 通りだけ重複している。

つまり、（10・9・8・7・6・5・4・3・2・1）÷（3・2・1）÷（2・1）÷（2・1）＝151200 通り【答え】となります。
（→これを高校数学では「10P10÷（3P3・2P2・2P2）＝10!÷（3!・2!・2!）」と表記していると思います【図4】参照）

次に、【本題】（２）についてもその準備知識として基本的なお話を添えて回答してみます。

【例】
今、3つの文字ア,イ,ウから2つ選ぶ場合は何通りあるのか考えてみます。
＊「選ぶ」という言葉を意識しておいてくださいね。
一文字目にを選んだ文字は、アとします。もう二つ目に選ぶ文字は、イかウのどちらかになりますね。（…つまり、「アとイ」または「アとウ」）

今度は、一文字目に選んだ文字は、イとします。二つ目に選ぶ文字は、アかウのどちらかになりますね。（…つまり、「イとア」または「イとウ」）

ここで、今のお話の中で「アとイ」という選び方と「イとア」の選び方は全く同じ扱いになりますね。（…くどいようですが、ここが「並べる」と「選ぶ」の決定的な違いです）

つまり、3文字の中から2つ選ぼうとするとき…（これを「組み合わせ」といいます）
次のような記号を使って表します。
「（左側下添え字3）C（2右側下添え字）」
（→さらにこれは次のように（等式）のように書き換えができます【図5】参照）

つまり、【図5】から、3文字の中から2つ選ぶ場合は、6通りとなります。

ここで、本題に入ります。
【本題】ＭＢＱＩＣＢＬＩＣＢの１０文字を１列に並べる。
（２）ＭはＱより左に、かつＱはＬより左にあるような並べ方は何通りあるか。並べ方は何通りあるか。
・とりあえず、10文字を当てはめるための空箱がテーブルに並んでいると想像してください。→つまり、「□□□…□」のような感じです。
・まず、この空箱10個の中からMとQとLを入れる空箱を3つ選んでおきましょう。
→先程の考え方のように、「10個の中から3個選ぶ」ということなので…
　●式5●　10C3=10P3÷3！（→【図６】参照）

これで、とりあえず特定の3文字（M,Q,L）の入る空箱の全通りは120通りと求めたことになります。

そして、それら全通りの一つ一つに対して、残った空箱7個の中に「B,,I,C,B,,I,C,B」の7文字を並べると考えます。でも、本題（１）のときのように、重複している文字がありますね。（→つまり、Bが3文字、Iが2文字、Cも2文字）
結局、まず最初に特定の文字（M,Q,L）の並べ方は…120通り
その全通りの一つ一つに対して残りの7文字の並べ方は…210通り

よって、120×210＝25200通り【答え】となります。

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お礼

懇切丁寧な説明、解説をどうもありがとうございました。高校のテキストで順列とか組み合わせを
読み返しながら、必死で理解に努めました。どうも私より息子のほうが理解が早かったようです。
私は何度もいただいた内容を図1～7も参考にしながら考えて、なるほどと最終的に合点した次第です。
厚く御礼申し上げます。

回答No.1

hrsmmhr

並べ方は10!/(3!2!2!)=151200通り
MQLの並べ方の順序が固定なら、全部同じ文字と見なすのと同じで
151200/3!=25100通りです

お礼

早速のご回答ありがとうございました。
並べ方の順序が固定なら、全部同じ文字と見なすと
いうことが私にはピンとこなかったのですが、そういうこと
なのですね。どうもありがとうございました。