微方の基礎だとおもうんです

質問

あるサイトで
∫dx/(f(x)-x)=-ln(f(x)-x)+C
という積分が一般解とされてました。
しかしY=f(x)-xとして右辺を微分すると
-dY/dx・dlnY/dY=-(df(x)/dx-1)/(f(x)-x)
となって寝られません。f(x)がｘの関数でない場合しか駄目なんではと思うんですが。
必要とされてる解はf(x)=e^axの形なんだけどこれの場合も駄目ですよね。

回答No.5

t-aoba · ベストアンサー

t-aobaです。
∫dx/(f(x)-x)=-ln(f(x)-x)+C
において
f(x)=√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}+x
とすると左辺が楕円積分となり有限項の初等関数で表すことが出来なくなってしまいますが、一方で右辺は初等関数になってしまいます。
この矛盾をもって
∫dx/(f(x)-x)=-ln(f(x)-x)+C
の反例の一つとしたかったわけです。

お礼

有り難うございます。やっぱり数学カテは面白い！

回答No.6

i536

積分の一般解としては、間違いです。
タイプミスだと思いますので、
連絡してみられたらどうでしょう。

反例として、f(x)=x+1を
一般解とされている式の両辺に代入してみると、
x+A≠Cとなって成立しません。

次の方程式を解けでしたら、
∫dx/(f(x)-x)=-ln(f(x)-x)+C
f(x)=定数が答えだと思います。

一方、∫dx/(f(x)-x)を計算せよでしたら、
f(x)=定数以外、-ln(f(x)-x)+Cになりません。

お礼

ありがとうございます。頼まれ事だったので連絡しておきます。

回答No.4

KENZOU

t-aobaさん、はじめましてKENZOUです。回答ありがとうございました。一応楕円積分のことは承知しています。ただ質問の核心はなぜわざわざ楕円積分を引き合いにだされたかということで、
>f(x)=√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}+x
は「見出した」というより、この形にするために「こじつけた」といった
その「こじつけ」の意味がわからないもので質問させていただきました。

回答No.3

t-aoba

KENZOUさん、こんばんは。
∫dx/√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}は楕円積分といって、有限項の初等関数で表すことが出来ません。
初等関数とは多項式、有理関数、三角関数、逆三角関数、指数関数、対数関数の合成で表すことが出来る関数のことです。
f(x)=√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}+x
は「見出した」というより、この形にするために「こじつけた」といった感じでしょうか。

回答No.2

KENZOU

あるサイトの一般解は間違いか誤植ミスですね。
Y=-ln(f(x)-x)+CとおくとYをxで微分すれば
dY/dx=-{1/(f(x)-x)}d/dx(f(x)-x)=-(f'(x)-1)/(f(x)-x)　　(1)
となって、Pandarliedさんが与えている式（？：符号がおかしいと思いますが）通りとなります。
今、f(x)=exp(ax)とおくとdf(x)/dx=aexp(ax)ですから(1)は
dY/dx=-{aexp(ax)-1}/(exp(ax)-x)　　(2)
となりますね。
>f(x)がｘの関数でない場合しか駄目なんではと思うんですが。
これもおかしいですね。(1)の結果はf(x)がxの関数であるとした場合の結果ですから。t-aobaさんが言われている通りf(x)をただの文字と勘違すれば問題の式は成り立ちます。
ところでt-aobaさんに質問なんですが、書かれている関数f(x)はどういう経緯で見出されたのでしょうか、よかったら教えていただきたいのですが。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

t-aoba

その通りだと思います。
f(x)=√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}+x
とすると楕円積分になってしまいますし。
やはりf(x)をただの文字として見てしまった誤答ではないでしょうか？