重積分の答えがわかりません。

質問

∫∫log(x^2+y^2)dxdy,D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4}

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

x=r cos(t),y=r sin(t) と変数変換すると
D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4} ⇒ D'={(r,t)|1≦r≦2,-π≦t≦π}
dxdy=rdtdr,log(x^2+y^2)=log(r^2)=2log(r)
なので
I=∫∫[D] log(x^2+y^2)dxdy=∫∫[D'] 2log(r) rdtdr
=∫[-π,π] dt∫[1,2] 2rlog(r) dr
= 2π∫[1,2] 2rlog(r) dr
部分積分して
= 2π[r^2ln(r)-∫rdr] [r:1,2]
= π[2r^2ln(r)-(r^2)] [r:1,2]
=π{8ln(2)-4+1}
= 8πln(2) -3π
(ln(2)は自然対数です。)